Уильям Р. Гамильтон (1805-1865): формулы на опоре моста
Гамильтон, также известный своими исследованиями в области механики, обнаружил ошибку в небесной механике в возрасте 17 лет. «Этот молодой человек, - прокомментировал астроном Джон Бринкли, - я не говорю, что он будет, но является первым математиком своего времени».
Уильям Роуэн Гамильтон вырос в семье юриста в Дублине. Уже в 5 лет он выучил латынь, греческий и иврит; другие языки будут добавлены позже, включая немецкий, санскрит и малайский. Он заинтересовался математикой только в возрасте 12 лет, прочитав «Элементы алгебры» Евклида в 13 лет и «Элементы алгебры» Алексиса-Клода Клеро на французском языке. Когда ему было 15 лет "Образ", он изучал работы Исаака Ньютона (1643 - 1727) и Пьера Симона Лапласа (1749 - 1827), в 17 лет он обнаружил ошибку в Mécanique céleste (Небесная механика) по Лаплас, побудивший ирландского астронома Джона Бринкли заявить: «Я не говорю, что этот молодой человек будет, но он есть, первый математик своего времени». alt="
В возрасте 18 лет Гамильтон поступает в Тринити-колледж в Дублине; год спустя следует его первая публикация в Ирландской королевской академии, а его первое новаторское исследование в области оптики - в 1826 году. В рамках промежуточных экзаменов в университете один из его экзаменаторов просит его подать заявку на должность профессора астрономии, которая стала вакантной. Хотя он не особо интересуется этой сферой, но применяет и самоутверждается против всех конкурентов. Однако Королевский астроном Ирландии до конца своей жизни написал только одну научную работу по астрономии, и то по лунной теории. С другой стороны, его вклад в физику значительно продвинул преподавание теоретической механики и оптики; его вклад в механику иногда приравнивают к достижениям Ньютона в литературе; они имеют фундаментальное значение для квантовой физики.
1831 Карл Фридрих Гаусс публикует статью о биквадратичных остатках - это остатки, которые могут возникнуть при делении биквадратов (четвертых степеней) на целое число; в этой работе он вводит термин «комплексные числа» для чисел вида \(a + b \cdot i). Он также указывает, что такие числа можно понимать как точки \((a | b)) в двумерной системе координат, т. е. как геометрические объекты (в немецкоязычных странах плоскость с тех пор именуется числом Гаусса). самолет). В 1832 году Гамильтон пошел еще дальше: он записал комплексные числа как алгебраические объекты: как пары чисел \((a, b), ), для которых две арифметические операции, одно сложение и одно умножение, могут быть определены следующим образом: ((a, b) oplus (c, d)=(a + c, b + d)) и \((a, b) otimes (c, d) ) (=(a\cdot c - b\cdot d, a\cdot d + b\cdot c))
Относительно этих двух операций множество комплексных чисел замкнуто, то есть операции не ведут за пределы множества, и к обеим операциям применяются ассоциативный и коммутативный законы, а также распределительный закон. При этом имеются нейтральные элементы относительно обоих звеньев, а для каждого элемента (не равного нулю) существует обратный элемент. Гамильтон интенсивно занимается вопросом, могут ли подобные операции быть определены также и в трех измерениях. Но какой бы подход он ни избрал для «умножения» числовых троек \((а, Ь, с)), он приводит к противоречию; только в 1898 году Адольф Гурвиц смог доказать, что такие соединения возможны только для размерностей один, два, четыре и восемь.
Имея дело с четырехмерными объектами \((a, b, c, d)) на прогулке в 1843 году, он пришел к ключевой идее: если свойство коммутативности не должно выполняться, то возможно умножение: \((a, b, c, d)\otimes (e, f, g, h)) (=(a\cdot e - b\cdot f - c\cdot g - d\cdot h, ) (a\cdot f + b\cdot e + c\cdot h - d\cdot g, ) (a\cdot g - b \cdot h + c\cdot e + d \cdot f, ) (a \cdot h + b\cdot g - c\cdot f + d \cdot e))
Как и в случае с комплексными числами, сложение определяется компонент за компонентом: \((a, b, c, d) oplus (e, f, g, h) ) (=(a + e, b + f, c + g, d + h).) Если мы запишем объект \((a, b, c, d) ) в виде \(a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k), то между "числами" \(i, j, k) применяются следующие соотношения: \(i^2=j^2=k^2) (=i \cdot j \cdot k=- 1, ) и \(i \cdot j=k=- j \cdot i.)
Гамильтон вырезал эти ссылки на камне моста в Дублине во время вышеупомянутой прогулки, где мемориальная доска увековечивает это событие и по сей день. Он называет эти четырехмерные объекты кватернионами (латинское: число четыре), и их открытие открывает новую область математических исследований - векторную алгебру. Например, он обнаруживает, что умножение кватернионов можно понимать как вращение векторов в пространстве.
1835 - Уильяму Роуэну Гамильтону всего 30 лет "Image" - он посвящен в рыцари и отныне может называть себя сэром Гамильтоном. В 1832 г. он на основе теоретических соображений предсказал явление преломления света в двуосных кристаллах, которое через короткое время было подтверждено экспериментально. Это принесло ему такое же признание в научном мире, как и его работа «Об общем методе в динамике» («Новые основы теоретической механики», ныне известная для краткости как теория Гамильтона). Он назначен членом Королевского общества, президентом Ирландской королевской академии и членом-корреспондентом Академии Санкт-Петербурга. alt="
Его личная жизнь, напротив, менее «успешна»: в 19 лет он безумно влюбляется в Екатерину, но жениться на ней в это время не может. Он ищет убежища в литературе, читает стихи на персидском и арабском языках и сам пишет стихи, которые дарит своему другу, поэту Уильяму Вордсворту. Последнему трудно убедить его, что стихи менее успешны, чем математические и физические трактаты.
Гамильтон в конце концов женился на Хелен Бэйли, которая жила недалеко от обсерватории. Однако его брак, в котором родилось трое детей, не всегда был счастливым. Его жена часто болела, он очень переживал, и это сказывалось на его творчестве. Спокойная, частная семейная жизнь, которую он обещал ей до брака, контрастировала с социальными обязательствами, которые пришли с его растущей славой и должностями, которые ему предлагали. К этому добавились этапы, когда Гамильтон неустанно работал над своими проектами и на несколько дней уединялся в своем кабинете.
Неоднократные отлучки его жены из-за болезни были такой же темой для разговоров в дублинском обществе, как и предполагаемое чрезмерное употребление алкоголя Гамильтоном. После инцидента на приеме Геологического общества Ирландии Гамильтон долгое время воздерживался от употребления алкоголя.
Однажды, когда он снова встретил свою возлюбленную детства Кэтрин, он заметил, насколько она несчастна в их браке, и его любовь к ней возобновилась. Поэтому Гамильтону было приятно иметь возможность помочь старшему сыну Кэтрин, когда он готовился к университетским экзаменам в 1848 году. За благодарственным письмом Екатерины последовала оживленная переписка между ними, пока она не поняла, что эти письма нарушают строгие моральные кодексы того времени. Она чувствовала себя виноватой и сообщила мужу о переписке с Гамильтоном. После неудачной попытки самоубийства с ее стороны она рассталась со своим мужем.
В последующие годы Гамильтон и Кэтрин поддерживали связь друг с другом посредством переписки. В конце 1853 года Гамильтон получил посылку, содержащую коробку для ручек с надписью: «От того, кого вы никогда не должны забывать и о ком нельзя думать плохо, и кто умер бы более довольным, если бы мы встретились еще раз. Обезумевший, Гамильтон бросился к Кэтрин, своей умирающей возлюбленной; оба признались, что никогда не переставали любить друг друга. Он подарил ей первый горячий экземпляр своих «Лекций о кватернионах».
После ее смерти Гамильтон снова с головой уходит в работу, желая, чтобы его лекции было легче читать. В течение семи лет он писал «Элементы кватернионов», руководствуясь «Элементами» Евклида. Когда он умирает в 1865 году, работа насчитывала 800 страниц и еще не была закончена. Незадолго до смерти он получил известие о том, что Национальная академия наук США назначила его своим первым иностранным членом.
Имя Гамильтона в первую очередь связано с достижениями в теоретической физике и векторной алгебре. Другая область математики, теория графов, также получила от него важный импульс. Он разрабатывает «игру»: сколько существует замкнутых путей по ребрам правильного додекаэдра, таких, что каждую вершину можно пройти ровно один раз? На рисунках ниже показано, что гамильтоновы пути возможны на всех платоновых телах. Поиск таких путей в любой сети обычно требует большого объема поиска.