Паоло Руффини (1765-1822)
Общей формулы для решения алгебраического уравнения степени 5 и выше не существует. Руффини предвосхитил большую часть этой теоремы, которая была доказана Нильсом Хенриком Абелем.
Рожденный в городе Валентано, на полпути между Римом и Сиеной, Паоло Руффини вырос в семье врача. Позже семья переехала в Модена (Эмилия-Романья), где Паоло начал изучать математику, медицину, философию и литературу в университете в возрасте 18 лет. Когда герцог Модены и Реджио назначил его профессора-аналитика управляющим княжескими поместьями, студенту Руффини было поручено провести лекцию по анализу. В следующем году (1788 г.) он закончил учебу с квалифицированными степенями философии, медицины и математики и был назначен профессором основ анализа. А когда через три года его бывшему профессору геометрии пришлось бросить преподавание по состоянию здоровья, Руффини был назначен профессором по основам математики. В том же году он также получил лицензию на медицинскую практику.
В 1795 году французские революционные войска начали завоевывать северную Италию, а в июне 1797 года Наполеон окончательно провозгласил Цизальпинскую республику как дочернюю республику Франции со столицей в Милане. Вопреки своей воле Руффини назначается делегатом в одну из палат новообразованного государства. Вскоре ему удается бросить эту нелюбимую должность и возобновить свою университетскую деятельность. Однако это ненадолго, поскольку от него требуется принести присягу соблюдать конституцию республики, которую он отказывается делать по религиозным соображениям.
Руффини переносит увольнение с университетской службы с большим хладнокровием, потому что это дает ему больше времени для лечения своих пациентов, которым он посвящает себя с большой самоотдачей. Кроме того, теперь у него есть свободное время, чтобы заняться математической проблемой, занимавшей его в течение многих лет: вопросом о разрешимости уравнений 5-й степени в радикалах.
Вавилоняне уже знали методы решения квадратных уравнений; они были систематизированы Аль-Хорезми около 830 г. В течение 16 века Сципионе дель Ферро, Джироламо Кардано, Никколо Тарталья, Лодовико Феррари и, наконец, Франсуа Виете разработали методы решения любых уравнений 3-й или 4-й степени.
Поскольку изначально разрешались только положительные коэффициенты, необходимо было провести ряд различий между регистрами. Кардано показал, что это не обязательно, но нужно для решения сокращенного уравнения 3.степени \(z^3 + pz + q=0) только разные случаи относительно дискриминанта \(Delta=\left(frac{q}{2}\right)^2+\left(frac{ p} {3}\right)^3) необходимо соблюдать.
Благодаря использованию комплексных чисел Рафаэлем Бомбелли стало окончательно ясно, что уравнения до степени 4 можно решать с помощью радикалов, а это означает, что решения могут быть представлены с помощью формул, в которых единственными операциями являются сложение, вычитание, умножение и деление, а также извлечение квадратного корня.
Нахождение соответствующей формулы решения для уравнений 5-й степени казалось лишь вопросом времени. Но хотя многие математики, в том числе и Леонард Эйлер, пытались найти такое решение, поиски оказались тщетными.
1770 Жозеф Луи Лагранж публикует трактат Réflexions sur la résolution algébrique des équations, в котором он рассматривает так называемые резольвенты, являющиеся вспомогательными величинами, играющими роль в процессе решения (одновременно аналогичные исследования Александра-Теофиля Вандермонда).
Если рассмотреть три решения \(x_1), \(x_2), \(x_3) кубического уравнения, то можно пронумеровать эти три решения \(3!=6) способами. Однако можно обнаружить, что резольвента Лагранжа \(R) с \(R=(1 \cdot x_1 + \alpha\cdot x_2 + \alpha^2 \cdot x_3)^3) принимает только два разных значения, если вы поменять местами (переставить) нумерацию решений. \(alpha) обозначает нетривиальный третий корень из единицы, т.е. решение уравнения \(x^3=1). Эти два значения затем упрощают процедуру решения: нужно решить только два вспомогательных уравнения, чтобы прийти к решению кубического уравнения. Для уравнений 4-й степени подход с \(R=(x_1 + x_2- x_3 - x_4)^2) приводит не к \(4!=24), а только к трем различным значениям, так что конкретное решение уравнения 4-й степени необходимо решить только три вспомогательных уравнения.
В случае уравнений более высокой степени, однако, любой резольвентный подход оказывается бесполезным: подходы не приводят к упрощению процедуры решения. Например, резольвента уравнения степени 5 принимает шесть различных значений, так что ситуация ухудшается.
Похоже, ни один математик до Руффини не осмелился сделать вывод из этого открытия: не существует общего метода решения в радикалах для уравнений выше 4-й степени.
Руффини признает, что это связано со структурой наборов решений. С этой целью он был первым, кто систематически исследовал множества перестановок и открыл первые теоретико-групповые положения, такие как делимость относительно числа элементов в группах и их подгруппах. В 1799 году он опубликовал Teoria generale delle equazioni, в которой изложил свои взгляды и предоставил первое доказательство своего утверждения.
Он посылает копию работы своему «соотечественнику» Лагранжу (математик, родившийся в Турине, первоначально носил имя Джузеппе Лодовико Лагранжа), который, однако, не отвечает. Руффини подозревает, что книга не дошла до Лагранжа из-за неопределенной политической ситуации, и отправляет ему второй экземпляр. Но и на этот раз Лагранж не отвечает.
1803 Руффини публикует второе, более строгое и, как он надеется, более понятное доказательство. Первоначальные положительные отзывы побуждают его вносить дальнейшие улучшения в аргументы доказательства (всего он публикует пять версий). Другие, такие как Джанфранческо Мальфатти, который в 1770 году нашел метод решения некоторых специальных уравнений 5-й степени, не понимают его доказательства. Руффини удается уговорить Академию наук поручить членам правления Адриану-Мари Лежандру, Сильвестру Лакруа и Лагранжу рассмотреть аргументы Руффини. Только Лагранж высказывает мнение: в сочинении слишком мало того, что заслуживает более пристального изучения. В конце концов, Руффини получает отзывы от Королевского общества о том, что его доказательства подтверждают его утверждения. Но хотя содержание его открытия на самом деле сенсационное, оно остается без дальнейших последствий.
Единственным человеком, который дал положительное мнение при жизни Руффини, был Огюстен Коши, из всех людей, который иначе никогда не хвалит достижения других; он считает доказательство законченным. Вероятно, работа Руффини вдохновила Коши на важные работы о группах перестановок в 1813 и 1815 годах.
После поражения Наполеона Руффини возобновил свою работу в университете, читая лекции по математике и медицине, он же временно был ректором университета. Когда в 1817 году страну охватила эпидемия брюшного тифа, он полностью посвятил себя уходу за больными. Он сам заражается и, несмотря на временное выздоровление, постепенно вынужден оставить работу преподавателя в университете. В 1820 году он опубликовал еще один трактат о сыпном тифе и последствиях болезни (Memoria del tifo contagioso), которые наблюдал на собственном теле. В 1822 году он снова заразился - на этот раз со смертельным исходом.
Тот факт, что математические работы Руффини не были должным образом оценены при его жизни и даже были временно забыты после его смерти, безусловно, связан с тем, что он писал свои труды на итальянском языке. Еще не созрело время и для революционной идеи о том, что поиск алгебраического метода решения уравнений выше 4-й степени безнадежен, поскольку такого метода не может быть. Мешало и то обстоятельство, что трудно читаемое и неполное с сегодняшней точки зрения доказательство по существу основывалось на рассмотрении структуры групп подстановок, которые еще не были рассмотрены. Даже Нильс Хенрик Абель, не знакомый с трудами Руффини, столкнулся с огромными трудностями в 1824 г., пытаясь донести до математиков своего времени свое доказательство теоремы, которую сейчас по праву называют теоремой Абеля-Руффини. только после его смерти.