Кто может сосчитать стадо Гелиоса?
В математике поиск решения иногда занимает немного больше времени, например 350 лет для знаменитой "теоремы Ферма". Или два тысячелетия, как в этой простой задаче.
1773 Немецкий поэт Готхольд Эфраим Лессинг обнаружил в старой рукописи письмо, которое, как говорят, Архимед написал Эратосфену из Кирены. Он содержит стихотворение, состоящее из 44 строф, в котором описывается математическая задача. Вы ищете количество крупного рогатого скота в стаде бога солнца Гелиоса, которое пасется на острове Сицилия. В этом стаде есть быки и коровы, и они могут быть белыми, черными, желтыми или пятнистыми. Например, доля белых быков равна половине плюс треть черных быков плюс общее количество всех желтых животных. И так далее – из всей информации о скотине в стихотворении можно построить следующую систему уравнений:
Четыре заглавные буквы W, X, Y, Z обозначают количество быков разного цвета, четыре строчные буквы w, x, y, z обозначают количество коров соответствующего цвета. Всего имеется девять уравнений, которые указывают на математические отношения между множествами. Так что найти решение не составит труда.
Но путь к ответу не был открыт до 1880 года, и в основном благодаря двум уравнениям в конце. Он требует, чтобы сумма белых и черных быков была квадратным числом, а сумма пятнистых и желтых быков - так называемым треугольным числом. Это число, равное сумме всех чисел от 1 до определенного предела. Например, 15 - это треугольное число, поскольку оно представляет собой сумму 1+2+3+4+5. Но также 10 (=1+2+3+4) или 21 (=1+2+3+4+5+6) являются треугольными числами.
Постановка задачи заканчивается просьбой: «Если ты, о друг, подсчитал и это, и нашел общее количество скота, то радуйся, как победитель, потому что ты доказал себе, что ты очень одаренный калькулятор."
Путь к аплодисментам «Завоевателей» был труден, однако, по двум причинам. Во-первых, задача сформулирована нечетко: неизвестных величин больше, чем уравнений, а значит, нет единственного решения, а бесконечное множество. Для ограничения числа возможных решений потребуется дополнительное условие. Во-вторых, когда вы ищете ответ, вы имеете дело с чрезвычайно большими числами.
Когда математик Август Амтор нашел решение в 1880 году, оказалось, что даже самый маленький из бесконечного множества ответов на вопрос Архимеда уже является числом из 206 545 цифр.7, 76·10206544 Скот должен пастись хотя бы на Сицилии, чтобы выполнялись все условия уравнений. Это число настолько велико, что полностью записать и отобразить его с помощью компьютеров не представлялось возможным вплоть до 1965 года.
Даже для стада солнечного бога это, вероятно, некоторое преувеличение, особенно если учесть, что такое большое количество скота заполнило бы не только весь остров Сицилия, но и всю обозримую вселенную.
Какова именно должна быть цель задачи Архимеда, неясно. Проблема определенно не могла быть решена математическими методами древности - может быть, это была просто шутка. Но в любом случае она весьма впечатляюще демонстрирует одну вещь: задача без ответа не дает математикам покоя. Даже если это займет более 2000 лет и в итоге даст только абсурдный ответ про стадо скота бога солнца - пока решение не найдено, оно будет искаться!