Курт Гёдель (1906-1978)
Гёдель был блестящим логиком и безнадежно непригоден для практической жизни - настолько, что из болезненного недоверия он уморил себя голодом.
В августе 1900 года на Международном конгрессе в Париже Давид Гильберт, президент Немецкой математической ассоциации (DMV), представил список из 23 нерешенных математических задач, которые, по его мнению, окажут влияние на исследования в грядущем столетии. Гильберт убежден, что любую математическую задачу можно решить: есть проблема, ищи решение. Вы можете найти их чистой мыслью; потому что в математике неучей нет.
Спустя три десятилетия после этой памятной речи Курт Гёдель, молодой аспирант Венского университета, умерил оптимизм Гильберта: во второй из 23 задач Гильберт выразил надежду, что последовательная аксиоматизация арифметика скоро будет возможно добиться успеха.- В 1889 году итальянский математик Джузеппе Пеано опубликовал систему аксиом для арифметики, непротиворечивость которой еще не была выяснена в 1900 году. В 1928 г. на конгрессе в Болонье Гильберт сам представил логическое исчисление формальных рассуждений, которое, как он считал, удовлетворяло условию непротиворечивости. Однако в 1930 году Курт Гёдель смог доказать в своем трактате «О формально неразрешимых теоремах Principia Mathematica и родственных систем», что в принципе непротиворечивость теории нельзя продемонстрировать, используя только теоретические средства.
В 2000 году Почта Португалии восприняла важность этих знаний для развития математики как возможность опубликовать на марках тысячелетия портреты выдающихся личностей, оказавших особое влияние на науку 20 века, наряду с Анри Пуанкаре. и Андрей Н. Колмогоров также показать фотографию Курта Гёделя.
Курт Гёдель родился в семье совладельца текстильной фабрики в Брно, центре провинции Моравия в Австро-Венгерской империи, и провел там счастливое детство. В возрасте шести лет он заболел ревматизмом после стрептококковой инфекции, но вскоре выздоровел. Однако эта болезнь имеет последствия на всю жизнь: когда Курту исполняется восемь лет "Image", он начинает читать медицинские книги о последствиях такой болезни, и с тех пор до конца жизни он ипохондрическое убеждение, что он страдает сердечной недостаточностью. alt="
В городе Брюнн (чеш. Брно) до Первой мировой войны все еще проживало преимущественно немецкоязычное население; после 1918 года, после основания Чехословацкой республики, это изменилось, но город продолжал оставаться двуязычным. Как и его брат Рудольф, который был на четыре года старше его, Курт Гёдель посещал немецкоязычные школы; в школьные годы он получил прозвище «Господи почему». В 1923 году он сдал аттестат зрелости в местной средней школе на отлично. Особенно впечатляют достижения в латыни и математике: позже Рудольф Гёдель сообщает, что его брат ни разу не сделал ни одной грамматической ошибки в латыни за все школьные годы и что он уже имел дело с математическими темами в школьные годы, которые преподаются только в школе. университет.
Курт Гёдель, который теперь получил австрийское гражданство, следует за своим братом в Вену, где он изучает медицину, первоначально с намерением изучать физику. Затем он был настолько очарован лекциями по математике Филиппа Фуртвенглера и Ганса Гана, что изменил свое внимание. Гёдель получил важные импульсы для своей более поздней работы в (позже так называемом) Венском кружке, в дискуссиях о философских основаниях науки ему было разрешено принимать участие даже будучи студентом. Такие личности, как более поздний профессор философии Рудольф Карнап и математики Рихард фон Мизес и Карл Менгер, также принимали участие в этой дискуссионной группе, основанной Гансом Ганом и философом Морицем Шликом.
1929 он защитил докторскую диссертацию под руководством Ганса Гана за работу «Полнота исчисления логических функций (первого порядка)». Здесь он показывает, что утверждения могут быть доказаны на основе системы аксиом. На следующем этапе Гёдель рассматривает подход Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда, которые в своем трехтомном труде Principia Mathematica пытались вывести математические теоремы, не являющиеся аксиомами, посредством логических выводов, и пришли к шокирующему для многих математиков результату. что независимо от того, сколько аксиом вы добавите в систему, всегда будет больше истинных утверждений, которые не доказуемы из системы.
Гёдель представляет свою статью (сегодня известную как теорема Гёделя о неполноте) в качестве дипломной работы; С марта 1933 г. он получил право читать лекции в качестве частного лектора в Венском университете. Из-за своего сенсационного открытия он был приглашен на гостевые лекции в только что основанный Институт перспективных исследований в Принстоне (Нью-Джерси), но вынужден был прервать свое пребывание там по состоянию здоровья.
В течение нескольких месяцев лечения в санатории Гёдель поправился до такой степени, что смог вернуться в Принстон осенью 1935 года; однако через месяц происходит следующий коллапс. Из-за своей ипохондрии он регулярно принимает таблетки от предполагаемой сердечной недостаточности, ведет постоянный учет собственной температуры тела и пищеварения, ест только небольшое количество пищи, чтобы защитить свой желудок, что, в свою очередь, влияет на его физическую выносливость.
Гёдель почти не замечает политических перемен в Австрии (отмена демократических структур федеральным канцлером Энгельбертом Дольфусом - австрофашизм). Однако, когда Мориц Шлик был убит одним из своих бывших докторантов в 1936 году, Гёдель был потрясен и не мог работать в течение нескольких месяцев. (Во время суда убийца оправдывается идеологическими доводами. В национал-социалистической прессе убийца изображается как действительная жертва, после аннексии Австрии он освобождается условно.)
1937 Гёдель читал лекции в Вене, в летнем семестре 1938 года в Гёттингене. 1938/39 учебный год он снова провел в Принстоне и Индиане. Здесь он публикует статью «Соответствие аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы аксиомам теории множеств». В соответствии с этим применимо следующее: если система аксиом теории множеств Эрнста Цермело и Абрахама Френкеля, дополненная аксиомой выбора, свободна от противоречий (которые допускает большинство математиков, но которые не могут быть доказаны с помощью системы согласно теорема о неполноте), то расширенная система, в которой, кроме того, континуум-гипотеза принимается как аксиома, сама по себе свободная от противоречий.
Континуум-гипотеза (согласно Георгу Кантору, 1878 г.): не существует множества, величина которого лежит между величиной натуральных чисел и величиной действительных чисел.
Аксиома выбора (согласно Эрнсту Цермело, 1904 г.): Для каждого множества непустых множеств существует функция, с помощью которой можно выбрать элемент из каждого из этих множеств.
Только в 1960-х годах Пол Коэн завершил доказательство, показав, что гипотеза континуума не может быть выведена из аксиом теории множеств, так что ее можно добавить в качестве дополнительной аксиомы (или отрицания континуума). гипотеза). Коэн получил медаль Филдса за свои показания.
Незадолго до очередной поездки в США он женится на Адель Поркерт. С этой женщиной, которая была старше его на шесть лет, он состоял в отношениях с конца 1920-х годов. Его отношения с разведенной женщиной, которая зарабатывала на жизнь танцовщицей в ночном клубе, не одобрялись его родителями, поэтому он долгое время держал это в секрете. В годы, предшествовавшие смерти Гёделя, его жена Адель преданно заботилась о своем муже. Когда у Гёделя возникает бредовая идея, что кто-то пытается его отравить, она должна попробовать всю еду, прежде чем он ее съест.
В отличие от других частных лекторов, после присоединения Австрии к Германскому рейху право Гёделя читать лекции в Венском университете было нерешительно со стороны новой университетской администрации - возможно, потому, что он сам считался евреем из-за «подозревали» его многочисленные еврейские знакомые. Вместо этого он получает повестку и, несмотря на плохое телосложение, признается годным к военной службе.
Только сейчас он осознает серьезность ситуации; Практически в последний момент он получил (через Джона фон Неймана) визу для себя и своей жены в США и разрешение на выезд из страны от нацистских властей. После тяжелого путешествия по Транссибирской железной дороге и перехода на корабле из Японии в Сан-Франциско в середине марта 1940 года он прибыл в Принстон, где сначала получил годовые контракты в качестве лектора, а затем постоянную должность до 1953 года. после этого он до конца жизни занимал должность профессора без обязательств по чтению лекций.
1947 Гёдель получил американское гражданство. На слушаниях, на которых он должен доказать знание страны и конституции, он указывает ответственному судье на противоречия в американской конституции - но благодаря суверенитету судьи и соратников Гёделя (Альберта Эйнштейна и Оскара Моргенштерна), затем экзаменационное собеседование продолжается в его пользу.
С Эйнштейном завязывается тесная дружба; Эйнштейн как можно чаще брал Гёделя на длительные прогулки вместе до самой его смерти в 1955 году, что помогло ему стабилизироваться. В 1949 году, когда Эйнштейну исполнилось 70 лет, Гёдель представил ранее неизвестное решение уравнений Эйнштейна для теории гравитации: Вселенная Гёделя представляет собой вращающуюся систему с периодом обращения 70 миллионов лет; каждое путешествие в космосе - это путешествие во времени.
После смерти Эйнштейна и фон Неймана (1957) Гёдель отдалялся все больше и больше; его последняя статья появилась в 1958 году.
Когда Адель Гёдель перенесла инсульт в 1977 году и провела в больнице шесть месяцев, Гёдель потерял всякую опору. Поскольку больше некому попробовать его еду, он почти ничего не ест. Через полгода он весит всего 30 кг - в больницу его положили слишком поздно: через несколько дней он умер от истощения. За свою жизнь Гёдель был удостоен многочисленных почетных членств; Единственное, чего он не принимает, так это почестей из своей родной Австрии.
Добавление: Теорема Гёделя о неполноте также имела последствия в отношении важного вопроса теоретической информатики, так называемой проблемы принятия решения: существует ли алгоритм, который можно использовать для решения для каждого (достаточно формализованного) математического утверждения, является ли Это правда или ложь? Если есть такой алгоритм, который это делает, самый простой способ доказать его существование - указать его. Но как доказать, что такого алгоритма нет? И как должно выглядеть такое доказательство, которое само по себе является алгоритмом?
1936 Появился вклад Алана Тьюринга «О вычислимых числах» с приложением к проблеме решения, в котором он описывает простой абстрактный вычислительный автомат (теперь называемый машиной Тьюринга), который подчиняется конечному набору фиксированных правил.