Жозеф Фурье (1768-1830)
Мы обязаны Жозефу Фурье современным математическим представлением диффузии тепла и разложением функций в ряды как суммы синусов и косинусов ("ряды Фурье").
Его имя написано золотыми буквами среди 72 имен известных французов на фризе Эйфелевой башни в Париже; его могила занимает видное место на кладбище Пер-Лашез рядом с могилами Гаспара Монжа и Жана-Франсуа Шампольона. Но хотя французская почта уже посвятила этим двоим несколько марок, Жозефа Фурье, похоже, забыли.
Жан-Батист Жозеф Фурье родился девятым из двенадцати детей от второго брака портного в Осере (Бургундия). Когда ему исполнится десять лет alt=""Image", его родители умирают один за другим; семья родственника принимает его. После успешного посещения латинской школы при Осерском соборе он перешел в местное военное училище, где вскоре проявились его особые способности к математике и физике. В возрасте 19 лет он присоединился к бенедиктинскому ордену с намерением работать учителем математики в монастырской школе. В последующие месяцы он сомневался в своей решимости, поддерживал связь со своим учителем математики в Осере и даже написал статью по алгебре. Когда ему исполняется 21 год, "Image" он ссорится со своей судьбой, считая, что Ньютон и Паскаль в этом возрасте уже совершили бессмертные дела. Он покинул монастырь, отправился в Париж, изучал математику и вернулся в свою бывшую школу в Осере, чтобы преподавать математику. alt="
Все еще не определившийся со своим будущим, решение принимает за него резкое изменение политической ситуации: В 1793 году он присоединяется к местному революционному комитету. Благодаря своему таланту оратора он вскоре повлиял на развитие революции в регионе. Его политическая деятельность чуть не стоила ему головы: он вступил в борьбу с фракцией Робеспьера, и они организовали его заключение. Он избегает гильотины только потому, что его противники сами теряют влияние после казни Робеспьера.
1794 Фурье выбирают для изучения математики в только что созданной École Normale в Париже; его учителями являются Жозеф-Луи Лагранж, Пьер-Симон Лаплас и Гаспар Монж. В то же время выдающийся студент работал преподавателем в Коллеж де Франс и перешел в только что основанную Политехническую школу. Его снова арестовали за революционную деятельность, но вскоре отпустили. В 1797 году он сменил Лагранжа на кафедре анализа и механики; его репутация отличного учителя распространяется.
1798 он присоединяется к группе ученых, сопровождавших Наполеона в его походе в Египет. Когда французский флот уничтожен флотом адмирала Нельсона в битве при дельте Нила, экспедиционный корпус оказывается отрезанным от дома.
Фурье занимается реформой школьной системы в Египте, назначается секретарем Института Египта и организует археологические экспедиции. Наполеон также поручает ему собирать ценные археологические находки; он сам возвращается во Францию, чтобы захватить там власть.
1801 Фурье тоже может вернуться в Париж; он хотел бы продолжить свою работу в качестве профессора математики. Наполеон, однако, назначает его - против его воли - префектом департамента Изер. В его новые обязанности входит осушение болот в районе Лиона и строительство дороги из Гренобля в Турин. Он выполняет задачи к большому удовлетворению своего клиента; однако он также посвящает время двум объемным работам: «О распространении тепла в твердых телах» и «Описание Египта».
Но книга о Египте может быть опубликована только после того, как Наполеон почувствует, что он получил должное признание во всех отчетах - в более позднем переиздании работы Фурье удаляет почти все отрывки, относящиеся к заслугам Наполеона.
Его энтузиазм в отношении древнеегипетской культуры заразителен: когда он показывает 12-летнему Жану-Франсуа Шампольону отпечаток розеточного камня в 1802 году, он одержим идеей расшифровки символов, содержащихся на камень. В 1822 году Шампольон представил свою исследовательскую работу в Академии надписей и изящной словесности в Париже: иероглифы были расшифрованы!
Работы Фурье о распространении тепла в твердых телах встречают сопротивление не только из-за незнакомого физического моделирования распространения тепла.
Лагранж и Лаплас также изначально отвергли математическую трактовку задачи, так как им не нравилась идея представления функций с помощью разложения в ряд тригонометрических функций. Тем не менее Фурье получил премию Академии наук за свою работу в 1811 году; однако комитет отказался печатать Священное Писание.
1814 Наполеон свергнут и сослан на Эльбу; по возвращении он идет прямо на Гренобль со своими только что собранными войсками. Фурье тщетно пытается напомнить гражданам Гренобля об их присяге на верность королю. Когда Наполеон входит в город, Фурье бежит. Наполеон великодушно прощает ему это «предательство» своей персоны и назначает его префектом департамента Рона вместе с высоким жалованьем, которое никогда не выплачивается.
После окончательного поражения Наполеона Фурье возвращается в Париж, но ему не разрешают вернуться на свою старую работу из-за его сотрудничества с Наполеоном. Король Бурбонов Людовик XVIII также отказал ему в приеме в Академию наук, хотя Фурье получил наибольшее количество голосов среди кандидатов. Только в 1817 году он был принят в члены. В 1822 году Академия избрала его постоянным секретарем; четыре года спустя Фурье даже приняли во Французскую академию, общество 40 бессмертных (40 бессмертных).
За последние восемь лет своей жизни он опубликовал ряд трактатов по математическим и физическим проблемам, включая более обширную версию Théorie analytique de la chaleur, в которой он сделал гениальный подход: он утверждал, что каждый периодическая функция может быть записана как бесконечная сумма функций синуса и косинуса (сегодня это так называемый ряд Фурье), а именно:
Если \(f) является \(2\pi)-периодической функцией, то существует бесконечный ряд \(p_n), который сходится к \(f(x)):
\(p_n(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infty \big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\big).)
Для (Фурье) коэффициентов \(a_n) и \(b_n) применяется следующее:
\(begin{split} a_0&=\frac{1}{pi}\int_0^{2\pi}f(x)\ dx, \\ a_n&=\frac{1}{pi } int_0^{2\pi }f(x)\cdot \cos(nx)\ dx, \\ b_n&=\frac{1}{pi } int_0^{2\pi } f(x)\cdot \sin(nx)\ dx.\end{split})
Если \(f) - четная функция, то \(b_n=0) применимо ко всем \(n), если \(f) - нечетная функция, то соответственно \(a_n=0) для всех \(n), сравните примеры для интервала \(-\pi \leq x \leq +\pi):