В жизни каждого из нас наступает момент, когда мы задумываемся о создании пенсионного плана - по совету друга, родственника или по собственному желанию. План выбора может зависеть от различных факторов, таких как возраст и заработная плата человека, количество лет ожидаемой работы, а также варианты раннего или позднего выхода на пенсию.
Одним из возможных планов является план с установленными пенсиями, в котором размер пособия обычно зависит от количества лет работы работника на момент выхода на пенсию, а также заработной платы и/или средней заработной платы за период работы. Например, работник может получать часть средней заработной платы в течение определенного количества лет.
В статье, опубликованной в прошлом месяце в журнале SIAM Journal on Applied Mathematics, авторы Кармен Кальво-Гарридо, Андреа Паскуччи и Карлос Васкес представляют модель уравнения в частных производных (PDE), определяющую стоимость определенного пенсионного плана, включая возможность досрочного выхода на пенсию.
«Работодатель несет ответственность за пенсию, и стоимость этой ответственности понимается как стоимость пенсионного плана», - говорит автор Карлос Васкес. «Важно разработать математические модели для расчета стоимости этого обязательства, чтобы оценить финансовое положение учреждения или компании, у которой есть обязательства перед участником пенсионного плана».
В анализе используются инструменты моделирования, аналогичные тем, которые используются в количественном финансировании, например, для оценки американских опционов.
Модель предполагает, что заработная плата или оклад работника в любой момент времени регулируется стохастическим дифференциальным уравнением, которое, в свою очередь, зависит от времени приема на работу, текущей заработной платы работника и возраста поступления на работу. Предполагается, что неопределенность заработной платы зависит только от волатильности, которая относится к неопределенности или риску, связанному со стоимостью или активом. «Модели должны воспроизводить неопределенности, связанные с основными факторами плана (зарплата, процентная ставка и т. д.), и должны позволять вычислять стоимость пенсионного плана, чтобы воспроизвести ситуации в различных сценариях», - объясняет автор Андреа Паскуччи.
Авторы получают стоимость пенсионного плана с установленными выплатами, включая возможность досрочного выхода на пенсию для работника, таким образом вычисляя стоимость пенсионного плана, а также регион досрочного выхода на пенсию. «Если пенсионный план предусматривает возможность досрочного выхода участника на пенсию, то возникает дополнительный вопрос: когда оптимально выходить на пенсию? Инструменты математического моделирования позволяют поставить задачу в терминах дифференциальных уравнений в частных производных», - говорит Васкес.
Задача оптимального выхода на пенсию - это «проблема со свободными границами» для базового УЧП. Большинство приложений УЧП включают области с границами, и для решения УЧП необходимо выполнить определенные граничные условия. Задачи со свободной границей связаны с решением УЧП, где часть границы заранее неизвестна, называемая свободной границей. Таким образом, в дополнение к стандартным граничным условиям на свободной границе необходимо наложить дополнительное условие. Свободная граница в этой задаче - это оптимальная граница выхода на пенсию между областью, где оптимально выйти на пенсию, и областью, где оптимально продолжать работать.
«Практическое решение модели PDE для получения цен пенсионных планов из данных требует использования подходящих численных алгоритмов для запуска на компьютере», - говорит автор Кармен Кальво-Гарридо. «Из численных решений мы можем определить на каждую дату, для данной заработной платы и средней заработной платы, является ли оптимальным выход на пенсию или нет, а также получить значение пенсионного плана в любом случае».
Математический анализ обеспечивает строгое обоснование корректности модели, а также доказывает ожидаемые качественные свойства.
Будущие направления могут включать применение аналогичных методов моделирования для изучения эволюции заработной платы и окладов. «Мы работаем над более полной моделью эволюции заработной платы, которая включает возможность скачков (из-за экономического кризиса, внезапного увеличения или уменьшения заработной платы и т. д.)», - говорит Васкес. «Задачи PDE, включая реалистичные стохастические модели процентных ставок, также представляют собой очень сложную тему. Калибровка параметров модели является интересной и сложной проблемой из-за необходимости подходящих реальных данных».