Номера и символы
Глава 1 - Системы нумерации
Выражение числовых величин - это то, что мы склонны считать само собой разумеющимся. Это и хорошо, и плохо в изучении электроники. Хорошо, что мы привыкли к использованию и манипулированию числами для многих расчетов, используемых при анализе электронных схем. С другой стороны, особую систему обозначений, которую мы преподавали в начальной школе, - это не система, используемая внутренне в современных электронных вычислительных устройствах, и изучение любой другой системы обозначений требует некоторого пересмотра глубоко укоренившихся предположений.
Во-первых, мы должны различать разницу между числами и символами, которые мы используем для представления чисел. Число - это математическая величина, обычно коррелированная в электронике с физической величиной, такой как напряжение, ток или сопротивление. Существует много разных типов чисел. Вот лишь несколько типов, например:
ЦЕЛЫЕ НОМЕРА: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.,,
INTEGERS: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.,,
IRRATIONAL NUMBERS: π (приблизительно 3, 1415927), e (приблизительно 2, 718281828), квадратный корень любого простого
REAL NUMBERS: (Все одномерные числовые значения, отрицательные и положительные, включая нулевые, целые, целочисленные и иррациональные числа)
КОМПЛЕКСНЫЕ НОМЕРА: 3 - j4, 34, 5 ∠ 20 o
Различные типы чисел находят различное применение в физическом мире. Целые числа хорошо работают для подсчета дискретных объектов, таких как количество резисторов в цепи. Целые числа необходимы, когда требуются отрицательные эквиваленты целых чисел. Иррациональные числа - это числа, которые не могут быть точно выражены как отношение двух целых чисел, а отношение идеальной окружности круга к его диаметру (π) является хорошим физическим примером этого. Нецелые величины напряжения, тока и сопротивления, которые мы используем для работы в цепях постоянного тока, могут быть выражены как реальные числа в дробной или десятичной форме. Однако для анализа цепи переменного тока действительные числа не могут зафиксировать двойственную сущность величины и фазового угла, поэтому мы переходим к использованию комплексных чисел в прямоугольной или полярной форме.
Если мы хотим использовать числа для понимания процессов в физическом мире, делать научные предсказания или балансировать наши чековые книжки, мы должны иметь способ символически обозначать их. Другими словами, мы можем знать, сколько денег у нас есть в нашем текущем счете, но для того, чтобы вести учет, нам нужно разработать какую-то систему, чтобы символизировать это количество на бумаге или в какой-то другой форме для ведения учета и отслеживание. Мы можем сделать два основных способа: аналоговый и цифровой. При аналоговом представлении величина символизируется так, что она бесконечно делится. При цифровом представлении количество символизируется способом, который дискретно упакован.
Вероятно, вы уже знакомы с аналоговым представлением денег и не понимаете, что это такое. Вы когда-нибудь видели плакат по сбору средств, сделанный с изображением термометра на нем, где высота красной колонны указывала количество собранных денег по причине »// www.beautycrew.com.au//sub.allaboutcircuits.com / изображения / 04096.png" />
Это пример аналогового представления числа. Нет никакого реального предела того, насколько тонко разделена высота этого столбца, чтобы символизировать сумму денег на счете. Изменение высоты этого столбца - это то, что можно сделать, не изменяя сущности того, что это такое. Длина - это физическое количество, которое можно разделить как можно меньше, без каких-либо практических ограничений. Правило слайда - это механическое устройство, которое использует ту же самую физическую величину длины для представления чисел и помогает выполнять арифметические операции с двумя или более числами за раз. Это тоже аналоговое устройство.
С другой стороны, цифровое представление той же денежной фигуры, написанной со стандартными символами (иногда называемыми шифрами), выглядит так:
$ 35, 955.38
В отличие от плаката «термометр» с красной колонкой эти символические символы выше не могут быть точно разделены: эта конкретная комбинация шифров предназначена только для одного количества и одной величины. Если к счету добавлено больше денег (+ 40, 12 доллара США), для представления нового баланса ($ 35, 995, 50) должны использоваться разные символы или, по крайней мере, те же символы, что и в разных шаблонах. Это пример цифрового представления. Аналогом аналоговым является также цифровое устройство: счеты с шариками, которые перемещаются назад и вперед на стержнях, чтобы символизировать числовые величины:
Давайте сравним эти два метода численного представления:
ANALOG DIGITAL ------------------------------------------------ ------------------ Интуитивно понятное ----------- Требуется обучение для интерпретации Бесконечно делимого ------------------ - Дискретная склонность к ошибкам точности ------ Абсолютная точность
Интерпретация числовых символов - это то, что мы склонны воспринимать как нечто само собой разумеющееся, потому что оно училось нам много лет. Однако, если вы попытаетесь сообщить какое-то количество тому, кто не знает десятичных цифр, этот человек все еще может понять простую диаграмму термометра!
Бесконечно делимые и дискретные и прецизионные сравнения действительно являются флип-сторонами одной и той же монеты. Тот факт, что цифровое представление состоит из отдельных дискретных символов (десятичных цифр и абаков), обязательно означает, что он сможет символизировать количества с точными шагами. С другой стороны, аналоговое представление (например, длина правила слайда) не состоит из отдельных шагов, а представляет собой непрерывный диапазон движения. Способность правила скольжения охарактеризовать числовое значение до бесконечного разрешения является компромиссом для неточности. Если задано правило слайда, в представление числа, введенного в него, будет введена ошибка. Однако счеты должны быть намного сложнее, прежде чем его бусинки будут полностью выбиты из своих мест (достаточные для обозначения другого числа).
Пожалуйста, не понимайте эту разницу в точности, полагая, что цифровое представление обязательно более точное, чем аналоговое. Просто потому, что часы цифровые, не означает, что он будет всегда считывать время более точно, чем аналоговые часы, это просто означает, что интерпретация его отображения менее неоднозначна.
Делимость аналогового и цифрового представления может быть дополнительно освещена, говоря о представлении иррациональных чисел. Такие числа, как π, называются иррациональными, потому что они не могут быть точно выражены как доля целых чисел или целые числа. Хотя в прошлом вы, возможно, узнали, что фракция 22/7 может использоваться для π в вычислениях, это всего лишь приближение. Фактическое число «pi» не может быть точно выражено никаким конечным или ограниченным числом десятичных знаков. Цифры π продолжаются вечно:
3.1415926535897932384.,,,,
Возможно, по крайней мере теоретически, установить правило скольжения (или даже столбца термометра), чтобы идеально представлять число π, поскольку аналоговые символы не имеют минимального предела в той степени, в которой они могут быть увеличены или уменьшены. Если мое правило слайда показывает цифру 3.141593 вместо 3.141592654, я могу надавить слайдом чуть больше (или меньше), чтобы приблизить его. Тем не менее, с цифровым представлением, например, с счету, мне нужны дополнительные стержни (держатели мест или цифры), чтобы представить π до дальнейших степеней точности. Абак с 10 стержнями просто не может представлять не более 10 цифр числа π, независимо от того, как я устанавливаю бусины. Чтобы идеально представлять π, счеты должны были иметь бесконечное количество бусин и стержней! Компромисс, конечно же, является практическим ограничением в настройке и чтении аналоговых символов. Практически говоря, нельзя оценить шкалу правил слайда до 10-й цифры точности, потому что метки на шкале слишком грубые, а человеческое видение слишком ограничено. С другой стороны, счеты могут быть установлены и прочитаны без каких-либо интерпретационных ошибок.
Кроме того, аналоговые символы требуют определенного стандарта, с помощью которого их можно сравнить для точной интерпретации. Правила слайдов имеют маркировку, напечатанную вдоль длины слайдов, чтобы перевести длину в стандартные количества. Даже диаграмма термометра имеет цифры, написанные вдоль ее высоты, чтобы показать, сколько денег (в долларах) обозначает красный столбец для любого заданного количества высоты. Представьте, если бы мы все пытались связывать простые числа друг с другом, разделяя наши руки на разные расстояния. Число 1 может означать, держась за руки на расстоянии 1 дюйм, число 2 с 2 дюймами и так далее. Если бы кто-то держал их руки на расстоянии 17 дюймов друг от друга, чтобы представить число 17, каждый вокруг них мог бы сразу и точно интерпретировать это расстояние как 17 "// www.beautycrew.com.au//sub.allaboutcircuits.com/images/04281.png" />
Однако для больших чисел система нумерации «хэш-метки» слишком неэффективна.