Понятия и переменные с помощью космических и канонических моделей
Понятия и переменные, связанные с представлением функций состояния-пространства, канонического и системного передатчиков общих преобразователей
Рекомендуемый уровень
начинающий
Усреднение состояния-пространства
В методе усреднения по линеаризации с прямой схемой динамическое поведение схемы не может быть изучено на резонансной частоте, поскольку частотная составляющая коммутации выходного сигнала для резонансного преобразователя отличается от локальной средней частоты значений. Таким образом, интегральное выражение среднего значения должно быть расширено с использованием рядов Фурье; и для динамического анализа требуется выражение производной относительно конкретной частоты.
Кроме того, метод пространственной модели состояний может применяться к непрерывным, дискретным и выборочным системам данных.
Модели состояния пространства дают базовый и мощный метод динамического моделирования многочисленных систем, таких как силовой преобразователь. Вы можете получить устойчивое состояние и динамические характеристики процессора мощности, который имеет открытую систему или систему с замкнутым контуром, подвергая ее внешним возмущениям. Он также служит основой для применения нелинейной методологии управления, такой как управление в режиме скользящего режима.
Методика усреднения состояния пространства дает полную модель преобразователя с установившимися и динамическими величинами.
Более того, моделирование состояний может быть проще, чем усреднение по прямому формированию схемы, рассмотренной ранее, поскольку модели состояний пространства дают возможность организовать необходимые вычисления. Именно поэтому растет потребность в моделировании состояния в силовой электронике. Инструменты классического управления системой LTI, такие как Bode Plot, корневой локус и т. Д., Лучше всего подходят для средних моделей состояний.
Государственно-космическое моделирование
Основные переменные в модели состояния-пространства называются переменными состояния, которые определяют состояние системы. Эти переменные ограничивают те аспекты прошлого, которые связаны с будущим. Таким образом, они тесно связаны с механизмом хранения памяти или энергии. Другими переменными, представляющими интерес, являются входные сигналы, такие как напряжение источника и ток источника; и управляющий вход, такой как отношение рабочего цикла. Эти переменные также воплощаются в модели состояния-пространства.
Если преобразователь работает в стационарном режиме без каких-либо внешних помех, и если переключатели идеальны, то есть отсутствие напряжения во время работы и отсутствие тока во время нерабочего режима, то поведение преобразователя может быть представлено формой состояния-пространства модель как, $$ \ точка {х} = Ax + Bu $$
а также
$$ у = Cx + Du $$
Здесь x - вектор состояния, u - управляющий или входной вектор, $$ \ точка {х} = \ гидроразрыва {дх} {Dt}, $$
A, B, C, D - матрица состояния (или динамики), матрица ввода, матрица вывода и матрица прямой или прямой передачи (или прямой передачи).
Общее решение для этих уравнений состояния пространства-пространства, $$ х (т) = E ^ {A (т-Δ t)} х (t) + \ int_ {Δ t} ^ {α} {е ^ А (т-α)} В; и (α) dα $ $
Если пределы временного интервала между 0 и Т, то решение для уравнения модели состояния-пространства становится, $$ х (т) = е ^ {А (Т)} х (0) + \ int_ {0} ^ {T}, {е ^ А (т-α)} В; и (α) dα $$
Если переключатель в преобразователе находится во включенном или выключенном состоянии, представленном переменной переключения времени δ (t), уравнение состояния пространства может быть представлено как, Для интервала включения, т.е. 0 ≤ t ≤ δ 1 t, $$ \ dot {x} = A_ {01} x + B_ {01} u $$ (Уравнение 1)
$$ y = C_ {01} x + D_ {01} u $$ (уравнение 2)
Здесь временная переменная переключения δ (t) = 1 для интервала включения и для интервала выключения, т.е. δ 1 t ≤ t ≤ T, $$ \ dot {x} = A_ {02} x + B_ {02} u $$ (уравнение 3)
$$ y = C_ {02} x + D_ {02} u $$ (уравнение 4)
Здесь временная переменная переключения δ (t) = 0 для интервала выключения.
Эти уравнения можно объединить, чтобы получить нелинейную и временную модель состояния-пространства, как показано ниже.
$$ \ точка {х} = (А_ {01} δ (т) + А_ {02} (1-δ (т))) х + (B_ {01} δ (т) + B_ {02} (1-δ (t))) u $$ (уравнение 5)
$$ у = (C_ {01} δ (т) + С_ {02} (1-δ (т))) х + (D_ {01} δ (т) + D_ {02} (1-δ (т))) u $$ (уравнение 6)
Решение этих уравнений для промежутка времени от 0 до Т есть, $$ х (Т) = е ^ {(А_ {01} δ (т) + А_ {02} (1-δ (т))) Т} х (0) + \ int_ {0} ^ {Т} е ^ {(A_ {01} δ (t) + A_ {02} (1-δ (t))) (t-α)} (B_ {01} δ (t) + B_ {02} (1-δ (t))) u (α) dα $$
Если δ 1 - среднее значение, а среднее значение x равно $$ \ overline {x} $$, то, $$ \ точка { Overline {х}} = (А_ {01} δ_ {1} + A_ {02} δ_ {2}) Overline {х} + (B_ {01} δ_ {1} + B_ {02 } δ_ {2}) overline {u} $$ (Уравнение 7)
$$ \ Overline {у} = (C_ {01} δ_ {1} + C_ {02} δ_ {2}) Overline {х} + (D_ {01} δ_ {1} + D_ {02} {2 δ_ }) overline {u} $$ (Уравнение 8)
Где, δ 2 = 1-δ 1
Метод:
Замените индуктор эквивалентным источником тока и конденсатором эквивалентным источником напряжения, как показано на рисунке 1. Должны быть некоторые начальные условия для нас, которые знают результат динамического анализа. Обратите внимание, что переменными состояния являются те переменные, значения которых необходимы для определения будущей производительности или поведения системы. Таким образом, ток индуктора и напряжение конденсатора являются обычным выбором для переменной состояния.
Найдите напряжения катушки индуктивности и токи конденсатора в зависимости от напряжения или тока источника, тока индуктора, напряжения конденсатора и управляющих входов.
Также разрешите выходные переменные, используя шаг 2.
Вы можете рассмотреть функцию переключения для шага 2, как показано ниже.
$$ v_ {L} = \ sharp {f_ {1}} (v_ {s}, i_ {s}, i_ {L}, v_ {c}, q, t) $$
$$ i_ {C} = \ sharp {f_ {2}} (v_ {s}, i_ {s}, i_ {L}, v_ {c}, q, t) $$
$$ y_ {1} = n_ {1} (v_ {s}, i_ {s}, i_ {L}, v_ {c}, q, t) $$
$$ y_ {2} = n_ {2} (v_ {s}, i_ {s}, i_ {L}, v_ {c}, q, t) $$
Положите напряжение индуктора и ток конденсатора в уравнения на шаге 2 и перестройте их, чтобы получить выражения для производной переменных состояния. Наконец, вы можете найти матрицы A, B, C и D.
Рисунок 1. Общее представление цепи преобразователя
Здесь нединамическая схема состоит из таких компонентов, как резистор, переключатель и идеальный трансформатор, которые имеют только мгновенные значения напряжений и токов, т. Е. Не имеют интегральных или производных или компонентов сдвига во времени.
Среднее линейное моделирование состояния пространства
Подумайте, что в системе существует небольшое нарушение. Теперь представляем это маленькое возмущение символом «̌» над буквой и устойчивым состоянием заглавной буквой, как это было сделано ранее.
Таким образом, мы имеем, $$ \ Overline {х} = X + \ проверка {х} $$
$$ \ Overline {у} = Y + \ проверка {у} $$
$$ \ Overline {и} = U + \ проверки {и} $$
$$ δ_ {1} = Δ_ {1} + \ проверка {δ} $$
$$ δ_ {2} = Δ_ {2} - \ проверка {δ} $$
Как и в стационарном состоянии, $$ \ точка {X} = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ overline { dot {x}} = \ dot {X} + \ check {x} $$
$$ \ Rightarrow \ overline { dot {x}} = \ check {x} $$
Используя уравнения 7 и 8, получим, $$ \ Rightarrow \ overline { dot {x}} = \ check {x} = (A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2}) X \, + \, (B_ { 01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2}) U \, + \, (A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2}) check {x} , + \, (B_ {01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2}) check {u} + ((A_ {01} -A_ {02}) X + (B_ {01} -B_ {02}) U) {проверка δ} + \, ((А_ {01} -A_ {02}) проверка {х} + (B_ {01} -B_ {02}) {проверка и}) проверка {δ} $$
а также
$$ \ overline {y} = Y + \ check {y} = (C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2}) X \, + \, (D_ {01} Δ_ { 1} + D_ {02} Δ_ {2}) U \, + \, (C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2}) check {x} , + \, (D_ {01} Δ_ {1} + D_ {02} Δ_ {2}) check {u} , + \, ((C_ {01} -C_ {02}) X + (D_ {01} - D_ {02}) U) {проверка δ} + \, ((C_ {01} -C_ {02}) проверка {х} + \, (D_ {01} -D_ {02}) проверка {и}) проверка {δ} $$
Эти уравнения можно разделить на две части: одна связана с постоянным или стационарным поведением, а другая связана с линейной моделью среднего состояния среднего среднего уровня, как показано ниже:
Стационарная модель:
$$ (A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2}) X \, + \, (B_ {01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2}) U = 0 $$ (уравнение 9)
а также
$$ Y = (C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2}) X + (D_ {01} Δ_ {1} + D_ {02} Δ_ {2}) U $$ (Уравнение 10)
Стационарное представление средней системы, хотя и линейное, не является временным, поскольку они зависят от Δ. Линейная система помогает нам определить различные функции передачи, которые могут быть использованы для дальнейшего проектирования контроллера системы с замкнутым контуром.
Линейная модель состояния и пространства с малым сигналом
$$ \ overline { dot {x}} = \ check {x} = (A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2}) check {x} , + \, (B_ {01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2}) check {u} , + \, ((A_ {01} -A_ {02}) X + (B_ {01} -B_ {02}) U) {проверка δ} + \, ((А_ {01} -A_ {02}) проверка {х} + (B_ {01} -B_ {02}) проверка {и}) проверка {δ} $$
Если пренебречь членом более высокого порядка
$$ ((А_ {01} -A_ {02}) проверка {х} + (B_ {01} -B_ {02}) проверка {и}) {проверка} δ = 0, $$
тогда, $$ \ overline { dot {x}} = \ check {x} = (A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2}) check {x} , + \, (B_ {01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2}) check {u} , + \, ((A_ {01} -A_ {02}) X + (B_ {01} -B_ {02}) U) проверка {δ} $$
а также
$$ \ check {y} = (C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2}) check {x} , + \, (D_ {01} Δ_ {1} + D_ {02} Δ_ {2}) check {u} , + \, ((C_ {01} -C_ {02}) X + (D_ {01} -D_ {02}) U) check {δ } , + \, ((C_ {01} -C_ {02}) check {x} + (D_ {01} -D_ {02}) check {u}) check {δ} $$
Пренебрегая членом более высокого порядка, получаем, $$ \ check {y} = (C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2}) check {x} , + \, (D_ {01} Δ_ {1} + D_ {02} Δ_ {2}) check {u} , + \, ((C_ {01} -C_ {02}) X + (D_ {01} -D_ {02}) U) check {δ } , + \, ((C_ {01} -C_ {02}) check {x} $$
Это также можно записать так, как указано ниже.
$$ \ dot { check {x}} = A_ {Avg} check {x} , + \, B_ {Avg} check {u} , + \, ((A_ {01} -A_ {02 }) X + (B_ {01} -B_ {02}) U) check {δ} $$ (Уравнение 11)
а также
$$ \ check {y} = C_ {Avg} check {x} , + \, D_ {Avg} check {u} , + \, ((C_ {01} -C_ {02}) X \, + \, (D_ {01} -D_ {02}) U) check {δ} $$ (уравнение 12)
Где:
$$ A_ {Среднее} = {А_ 01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2} $$
$$ B_ {Среднее} = {B_ 01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2} $$
$$ C_ {Среднее} = {C_ 01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2} $$
$$ D_ {Avg} = D_ {01} Δ_ {1} + D_ {02} Δ_ {2} $$ (уравнение 13)
Функция передачи для конвертера
Функция передачи для преобразователя может быть легко получена с помощью преобразования Лапласа. Они полезны для динамического анализа преобразователя. Переходный ответ из-за входных помех может быть обнаружен с использованием функции входной восприимчивости.
В стационарном состоянии, уравнениях 9 и 10, получаем, $$ \ frac {Y} {U} = - C_ {Avg} A ^ {- 1} _ {Avg} B_ {Avg} + D_ {Avg} $$ (уравнение 14)
Предположим, что нулевое начальное условие $$ ( check {u} = 0) $$, используя преобразование Лапласа для уравнений 11 и 12, получим, Функция управления передачей
$$ \ гидроразрыва { проверка {у} (ы)} { проверка {δ} (ы)} = {C_ {Среднее} (Si-А_ {Среднее})} ^ {- 1} ((A_ {01} -A_ {02}) Х + (B_ {01} -B_ {02}) U) + ((C_ {01} -C_ {02}) Х + (D_ {01} -D_ {02}) U), $$ (Уравнение 15)
Учитывая, что существует небольшое возмущение сигнала, так что можно предположить, что $$ \ check {δ} = 0, $$
Тогда передаточная функция (или звуковая восприимчивость) задается формулой
$$ \ гидроразрыва { проверка {у} (ы)} { проверка {δ} (ы)} = {C_ {Среднее} (Si-А_ {Среднее})} ^ {- 1} B_ {Среднее} + d- {Avg} $$ (Уравнение 16)
Теперь рассмотрим пример конвертера buck-boost и прямого преобразователя для среднего среднего состояния.
Среднее усреднение по пространству для конвертера Buck-Boost
Рисунок 2. Схема для неизолированного конвертера Buck-Boost
Вектор состояния, $$ х = (I_ {L}; V_ {C}) $$
Уравнения, когда переключатель S находится в состоянии ВКЛ:
$$ V_ {s} = L \ гидроразрыва {di_ {L}} {дт} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {di_ {L}} {dt} = \ frac {V_ {S}} {L} $$
также, $$ С \ гидроразрыва {dv_ {о}} {дт} = - \ гидроразрыва {V_ {O}} {R} $$
а также
$$ v_ {о} = - v_ {C} $$
Уравнения, когда переключатель S находится в состоянии OFF:
$$ \ гидроразрыва {di_ {L}} {дт} = - \ гидроразрыва {v_ {о}} {L} $$
$$ \ гидроразрыва {dv_ {C}} {дт} = {гидроразрыва I_ {L}} {C} - \ гидроразрыва {V_ {о}} {RC} $$
а также
$$ V_ {O} = - V_ {C}, $$
рассматривать
$$ y = (v_ {o}; i_ {L}) $$
Сравнивая его с общими уравнениями состояния пространства из (1) - (4), получим, $$ A_ {01} = (0; 0; 0; - \ гидроразрыва {1} {RC}) $$
$$ A_ {02} = (0; - \ гидроразрыва {1} {L}; \ гидроразрыва {1} {C},; - \ гидроразрыва {1} {RC}) $$
$$ B_ {01} = ( гидроразрыва {1} {L}; 0) $$
$$ B_ {02} = (0; 0) $$
$$ C_ {01} = (0; 1; 1; 0) $$
$$ C_ {02} = (0; 1; 1; 0) $$
$$ D_ {01} = (0; 0) $$
$$ D_ {02} = (0; 0) $$
Используя уравнения 5 и 6, мы можем получить модель коммутируемого состояния, как показано ниже.
$$ ( точка {i_ {L}}; \ точка {V_ {о}}) = (0; - \ гидроразрыва {1-d (T)} {L}; \ гидроразрыва {1-б (т)} {C} - \ гидроразрыва {1} {RC}) (I_ {L}; V_ {O}) + ( гидроразрыва {δ (т)} {L}; 0) V_ {s} $ $
а также
$$ (V_ {O}; I_ {L}) = (0; 1; 1; 0) (I_ {L}; V_ {O}) + (0; 0) V_ {s} $$
Теперь, применив Уравнения 7 и 8, мы можем получить следующие уравнения для среднего состояния-пространства:
$$ ( Overline { точка {I_ {L}}}; \ Overline { точка {V_ {о}}}) = ((0; 0; 0; - \ гидроразрыва {1} {RC }) δ_ {1} + (0- \ frac {1} {L} frac {1} {C} - \ frac {1} {RC}) δ_ {2} ( overline {i_ {L}}; \ Overline {V_ {O}}) + (( гидроразрыва {1} {L}; 0) δ_ {1} + (0; 0) δ_ {2}) Overline {V_ {s}} $ $
а также
$$ ( Overline {V_ {O}}; \ Overline {I_ {L}}) = ((0; 1; 1; 0) δ_ {1} + (0; 1; 1; 0) δ_ {2}) , ( Overline {i_ {L}}; \ Overline {V_ {O}}) + (( гидроразрыва {1} {L}; 0) δ_ {1} + (0; 0) δ_ {2}) Overline {V_ {s}} $$
Как известно, δ 2 = 1-δ 1
Мы получаем, $$ ( точка { Overline {I_ {L}}}; \ точка { Overline {V_ {O}}}) = (0; - \ гидроразрыва {1-δ_ {1} (т)} { л}; \ гидроразрыва {1-δ_ {1} (т)} {C},; - \ гидроразрыва {1} {RC}); ( Overline {i_ {L}}; \ Overline {V_ { o}}) + ( frac {δ_ {1} (t)} {L}; 0) overline {v_ {s}} $$ (уравнение 17)
а также
$$ ( Overline {V_ {O}}; \ Overline {I_ {L}}) = (0; 1; 1; 0); ( Overline {i_ {L}}; \ Overline {v_ {o}}) + (0; 0) overline {v_ {s}} $$ (уравнение 18)
Характеристики корней матрицы A являются корнями | sI - A |. Таким образом, $$ S_ {1, 2} = \ SQRT {- \ гидроразрыва {1} {2RC}; ±; \ гидроразрыва {{(1-δ_ {1})} ^ {2}} {LC}} $$
Максимальное значение корня s справедливо для частоты переключения f s, sT << 1, для линейного приближения. s max можно рассматривать как частоту, которая намного меньше 2 π f s.
Например, его можно рассматривать на одной десятой частоты коммутации. Затем мы должны соответственно выбирать значения индуктивности и конденсатора.
Используя уравнения 11, 12 и 13, имеем, Линейная модель состояния для этого преобразователя дается формулой
$$ ( проверка {i_ {L}}; \ проверка {V_ {O}}) = (0; - \ гидроразрыва {1-Δ_ {1}} {L} гидроразрыва {1-Δ_ { 1}} {C} - \ гидроразрыва {1} {RC}) ( проверка {i_ {L}}; \ проверка {V_ {O}}) +; ( гидроразрыва {Δ_ {1} } {L}; 0) ( проверка {V_ {s}}) +; (0; \ гидроразрыва { проверка {δ}} {L} - \ гидроразрыва { проверка {δ}} { C},; 0) ( проверка {i_ {L}}; \ проверка {V_ {O}}) +; ( гидроразрыва {V_ {S}} {L}; 0) ( проверка {δ}) $$
а также
$$ ( проверка {V_ {O}}; \ проверка {I_ {L}}) = (0; 1; 1; 0) ( проверка {i_ {L}}; \ проверка {V_ {о}}) + (0; 0) ( проверка {v_ {s}}) $$
Таким образом, мы имеем следующие матрицы:
$$ A_ {Avg} = (0; - \ frac {1-Δ_ {1}} {L} frac {1-Δ_ {1}} {C} - \ frac {1} {RC}) $$
$$ B_ {Среднее} = ( гидроразрыва {Δ_ {1}} {L}; 0) $$
$$ C_ {Среднее} = (0; 1; 1; 0) $$
$$ D_ {Среднее} = (0; 0) $$
Используя уравнение 14 и приведенные выше матрицы, получим, $$ \ гидроразрыва {Я} {V_ {S}} = \ гидроразрыва {Δ_ {1}} {{R (Δ_ {1} -1)} ^ {2}} $$
а также
$$ \ frac {V_ {O}} {V_ {S}} = \ frac {Δ_ {1}} {Δ_ {1} -1} $$ (для стационарного случая конвертера buck-boost)
Теперь, для беспорядков рабочего цикла с малым сигналом, передаточная функция с использованием уравнения 16, мы можем получить следующее:
$$ \ гидроразрыва { проверка {у} (ы)} { проверка {δ} (ы)} = C_ {Среднее} {(Si-А_ {Среднее})} ^ {- 1} B_ {Среднее} + d- {Среднее} $$
$$ \ Rightarrow \ frac { check {i_ {L}} (ы)} { check {V_ {S}} (s)} = \ frac {Δ_ {1} (1 + sCR)} {{s } ^ {2} LCR + Sl + {R (1-Δ1)} ^ {2}} $$
а также
$$ \ гидроразрыва { проверка {V_ {O}} (ы)} { проверка {V_ {O}} (ы)} = Р \ гидроразрыва {Δ_ {1} (1-Δ_ {1})} {{s} ^ {2} LCR + Sl + {R (1-Δ1)} ^ {2}} $$
Функции передачи управления, т.е. отношение выходного сигнала к рабочему циклу малого сигнала с использованием уравнения 15, следующие:
$$ \ гидроразрыва { проверка {I_ {L}} (ы)} { проверка {δ} (ы)} = \ гидроразрыва {V_ {S} ( гидроразрыва {1 + Δ_ {1} + Scr} { 1-Δ_ {1}})} {{s} ^ {2} LCR + Sl + {R (1-Δ1)} ^ {2}} $$
а также
$$ \ гидроразрыва { проверка {V_ {O}} (ы)} { проверка {δ} (ы)} = \ гидроразрыва {V_ {S} (R- \ гидроразрыва {sLΔ_ {1}} {{ (1-Δ_ {1})} ^ {2}})} {{s} ^ {2} LCR + Sl + {R (1-Δ_ {1})} ^ {2}} $$
Модель Canonical Circuit для конвертера Buck-Boost
Из средней модели состояния состояния Buck-Boost, приведенной в уравнениях 17 и 18, мы можем получить следующую каноническую модель, как показано на рисунке 3.
Рисунок 3. Канонический контур конвертера Buck-Boost для средней модели состояния-пространства
Усреднение состояний-пространств для неидеального преобразователя вперед
Рисунок 4. Схематическая диаграмма неидеального преобразователя вперед
Вектор состояния, $$ х = (I_ {L}; V_ {C}) $$
Выходной вектор, $$ у = (I_ {L}; V_ {O}) $$
$$ U = (V_ {S}) $$
Соотношение поворота, $$ п = \ гидроразрыва {N2} {N1} $$
Для временного интервала 0 ≤ t ≤ δ 1 T, Временная переменная переключения, δ (t) = 1 для интервала включения.
Во время этого интервала переключатели S и D1 находятся в состоянии готовности, а D2 находится в выключенном состоянии.
А для временного интервала δ 1 T ≤ t ≤ T, Временная переменная переключения, δ (t) = 0 для интервала выключения.
В течение этого интервала переключатели S и D1 находятся в выключенном состоянии, а D2 находится в состоянии готовности.
Уравнения уравнения состояния состояния-пространства будут, $$ \ гидроразрыва {di_ {L}} {дт} = - \ гидроразрыва {Р; гс + R; Rl + Rl; гС} {L (R + гс)} - \ гидроразрыва {R}, {Ь (R + гс) V_ {C}} + δ (т) nV_ {S} $$
$$ \ гидроразрыва {dv_ {C}} {дт} = \ гидроразрыва {R}, {(R + гс) C} i_ {L} - \ гидроразрыва {1} {(R + R_ {C}) C} V_ { с} $$
$$ V_ {O} = {гидроразрыва гс} {1+ \ гидроразрыва {гс} {R}} i_ {L} + \ гидроразрыва {1} {1+ \ гидроразрыва {гс} {R}} V_ {C} $$
Позволять
$$ rm = \ frac {rc} {1+ \ frac {rc} {R0}}, $$ $$ Rc = R + rc \,, \, Kc = \ frac {R} {Rc} ,, \, рп = Rl + гт $$
Затем, $$ A_ {01} = {А_ 02} = (- \ гидроразрыва {} {тр л} - \ гидроразрыва {Кс} {L}; \ гидроразрыва {Кс} {C} - \ гидроразрыва {1} {RC}) $$
$$ B_ {01} = ( гидроразрыва {п} {L}; 0) $$
$$ B_ {02} = (0; 0) $$
$$ C_ {01} = {02 С_} = (1; 0; тт; Кс) $$
$$ D_ {01} = {D_ 02} = (0; 0) $$
Таким образом, средняя модель состояния пространства, $$ ( Overline { точка {I_ {L}}}; \ Overline { точка {V_ {C}}}) = (- \ гидроразрыва {} {тр л} - \ гидроразрыва {Кс} {L}; \ гидроразрыва {Кс} {C} - \ гидроразрыва {1} {RC}) ( Overline {i_ {L}}; \ Overline {V_ {C}}) + ( гидроразрыва {nδ_ {1}} {L}; 0) ( Overline {V_ {S}}) $$
а также
$$ ( Overline {i_ {L}}; \ Overline {V_ {O}}) = (1; 0; тт; Кс) + (0; 0) (V_ {S}) $$
Каноническая или эквивалентная схема, возникающая из этих двух матриц, показана ниже.
Рисунок 5. Каноническая схема форвардного преобразователя для средней модели состояния-пространства
Величина Eigen для этого преобразователя, $$ S_ {1, 2} = - \ гидроразрыва {L + Crc; тр ± {(квадратный корень - 4RC \, L; С (Rc; {Кс} ^ {2} + тр) + {(Л + C Rc; rp)} ^ {2})}} {2Rc; L; C} $$
Используя уравнения 11 и 12, получим, $$ ( точка { проверка {I_ {L}}}; \ точка { проверка {V_ {C}}}) = (- \ гидроразрыва {гр} {L}; - \ гидроразрыва {Кс} { л}; \ гидроразрыва {Кс} {C},; - \ гидроразрыва {1} {RC}) ( проверка {i_ {L}}; \ проверка {V_ {C}}) + ( гидроразрыва {п Δ_ {1}} {L}; 0) ( проверка {V_ {s}}) + ( гидроразрыва {nV_ {S}} {L}; 0) ( проверка {δ}) $$
а также
$$ ( проверка {i_ {L}}; \ проверка {V_ {O}}) = (1; 0; тт; Кс) ( проверка {i_ {L}}; \ проверка {V_ {C}}) + (0; 0) (V_ {S}) $$
Функция передачи для форвардного конвертера
Устойчивые функции передачи, $$ \ гидроразрыва {i_ {L}} {V_ {S}} = \ гидроразрыва {nΔ_ {1}} {{Кс} ^ {2} Rc + Bp} $$
а также
$$ \ гидроразрыва {V_ {O}} {V_ {S}} = {гидроразрыва nΔ_ {1} ({Кс} ^ {2} Rc + тт)} {{Кс} ^ {2} Rc + Р. П. } $$
Функции передачи входного сигнала малого сигнала
$$ \ гидроразрыва { проверка {I_ {L}} (ы)} { проверка {V_ {s}} (ы)} = п \ гидроразрыва {Δ_ {1} (1 + ПКРК)} {{S} ^ {2} ЛК; Rc + s (L + C; Rc; гр) + {Кс} ^ {2} Rc + гр} $$
а также
$$ \ гидроразрыва {V_ {O} (ы)} {V_ {s} (ы)} = п \ гидроразрыва {Δ_ {1} ({Кс} ^ {2} Rc + тт + SC; Rc; RM)} {{s} ^ {2} ЛК; Rc + s (L + C; Rc; гр) + {Кс} ^ {2} Rc + гр} $$
Функции передачи сигналов малого сигнала, $ {} {} {{{{}} {{ ^ {2} ЛК; Rc + s (L + C; Rc; гр) + {Кс} ^ {2} Rc + гр} $$
а также
$$ \ гидроразрыва {V_ {O} (ы)} {δ (s)} = п \ гидроразрыва {V_ {S} ({Кс} ^ {2} Rc + тт + ПКРК; тт)} {{S} ^ {2} ЛК; Rc + s (L + C; Rc; гр) + {Кс} ^ {2} Rc + гр} $$
Аналогичный анализ может быть выполнен для других преобразователей, и некоторые частные отклонения могут быть рассмотрены для формирования модели состояния с малым сигналом, как показано ниже для конвертера buck. Кроме того, эти модели могут быть сформированы для режима прерывистой проводимости, если это необходимо.
State-Space Усреднение для конвертера Buck
Схема для неизолированного идеального конвертера-конвертера показана на рис.6.
Рисунок 6. Схема идеального конвертера Buck
Когда переключатель S в состоянии ВКЛ, уравнения, $$ V_ {S} = L \ гидроразрыва {di_ {L}} {дт} + V_ {C} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {di_ {L}} {dt} = \ frac {V_ {S} -V_ {C}} {L} $$
также, $$ I_ {L} = С \ гидроразрыва {dv_ {C}} {дт} + \ гидроразрыва {V_ {C}} {R} $$
И v o = v c
Уравнения, когда переключатель S находится в состоянии OFF:
$$ \ гидроразрыва {di_ {L}} {дт} = - \ гидроразрыва {V_ {C}} {L} $$
$$ \ гидроразрыва {dv_ {C}} {дт} = {гидроразрыва I_ {L}} {C} - \ гидроразрыва {V_ {C}} {RC} $$
И v o = v c
$$ \ точка {х} = ( гидроразрыва {di_ {L}} {дт}; \ гидроразрыва {dv_ {C}} {дт}) $$
Сравнивая эти уравнения с уравнениями состояния-пространства из (1) - (4), получим, * Примечание. Матрица D имеет нулевое значение, так как нет пути передачи вперед.
$$ A_ {01} = {А_ 02} = (0; - \ гидроразрыва {1} {L}; \ гидроразрыва {1} {C},; - \ гидроразрыва {1} {RC}) $$
$$ B_ {01} = ( гидроразрыва {1} {L}; {0}) $$
$$ B_ {02} = (0; 0) $$
Рисунок 7. Схема конвертера Бака с неидеальностью
Учитывая неидеальность, так что конденсатор имеет некоторое сопротивление, которое представлено эквивалентным сопротивлением в последовательностях конденсатора R C. В этом случае матрицы будут изменены.
Тогда передаточные функции малого сигнала будут:
Функция передачи сигнала малого сигнала, $$ \ гидроразрыва { проверка {V_ {O}} (ы)} { проверка {δ} (ы)} = {гидроразрыва RV_ {S} (1 + Src \ C)} {R + S (L + R; Rc; С) + {s} ^ {2} (R + Rc) LC} $$
а также
Функция передачи входного сигнала малого сигнала, $$ \ гидроразрыва { проверка {V_ {O}} (ы)} { проверка {V_ {s}} (ы)} = \ гидроразрыва {RΔ_ {1} (1 + Src \ C)} { R + s (L + R; Rc; С) + {s} ^ {2} LC (R + Rc)} $$
Если конвертер buck работает в режиме прерывистой проводимости, в течение одного периода переключения будет три интервала; и средняя матрица коэффициента состояний будет выражаться как указано ниже.
$$ \ Overline {A} = А_ {1} D_ {1} + А_ {2} D_ {2} + А_ {3} (1-D_ {1} -d_ {2}) $$
$$ \ Overline {B} = B_ {1} D_ {1} + B_ {2} d {2} + B_ {3} (1-D_ {1} -d_ {2}) $$
Рисунок 8. Переключение состояний конвертера Buck в режиме прерывистой проводимости
В режиме прерывистой проводимости для конвертера buck показано среднее уравнение состояния пространства в матричной форме.
$$ ( Overline { точка {X_ {1}}}; \ Overline { точка {X_ {2}}}) = (0; - \ гидроразрыва {D_ {1} + d- {2}} { л}; \ гидроразрыва {D_ {1} + d- {1}} {C} - \ гидроразрыва {1} {RC}) (X_ {1}; X_ {2}) + ( гидроразрыва {D_ {1 }} {L}; 0) и- {1} $$
Недостаток техники усреднения состояния и пространства
Эта модель состояния-пространства не может указывать на «разреженность» межсоединения. Однако это не относится к силовым электронным схемам по сравнению с системами большой мощности. В тех случаях, когда это считается проблемой, может быть реализован обобщенный метод для модели состояния пространства.