Чистое изящество математики
В то время как большинство согласны с действительно важными вещами, такими как раздельный сбор отходов или уход за зубами, но им нравится заниматься художественными вещами, в математическом мире все с точностью до наоборот. По крайней мере, со времен Платона платоники и формалисты столкнулись друг с другом с идеологиями.
Как известно, математики сильно отличаются от большинства своих собратьев-людей. Достаточно прочитать несколько стихотворений Энценсбергера, в которых он изумляется тому факту, что они (математики) занимаются главным образом искривленными пространствами и легко меняют местами левые идеалы с правыми, не говоря уже о подполях, которые означают для них нечто совершенно иное, чем может подумать непредвзятый наблюдатель.
Здесь мы хотим разобраться с еще одним отличием, которое идет прямо в сердце жизни. В то время как большинство соглашается с действительно важными вещами, такими как раздельный сбор мусора или уход за зубами, но любит заниматься художественными вещами (как говорится: о вкусах не спорят - и, конечно, означает обратное), так обстоит дело в математике. мир наоборот. По крайней мере, со времен Платона платоники и формалисты столкнулись друг с другом с идеологиями; спор о том, следует ли открывать или изобретать математические законы, является давней проблемой; и вопрос о первенстве чистой математики над прикладной может волновать целые институты. Но когда два математика склоняются над листом бумаги и один из них говорит: «Это чрезвычайно элегантное доказательство!», он может быть уверен, что его коллега согласится. О красоте и изяществе математических формул, теорем и тем более доказательств спорить не приходится, с этим согласны все.
"[…] ни в коем случае не случайно, что большинству математиков не чужды эстетические критерии. Для них недостаточно строгости доказательства; их амбиции направлены на «изящность». (HM Enzensberger)
Но что такое элегантность в математике? Как ни странно, от цеховых капиталистов об этом ничего нельзя узнать (а вот о красоте, как мы скоро увидим). Я хочу немного завлечь читателей в мир математики, предложить очень личное определение элегантности и проиллюстрировать его классическими примерами.
Красота и правда
В 1995 году, когда Эндрю Уайлс доказал самую известную открытую математическую проблему, теорему Ферма, она была достойна заголовка первой полосы каждой газеты. Национальная газета сообщила: «Кембриджский математик решил математическую головоломку 350-летней давности». Описать виртуозную последовательность логических выводов и структурных утверждений в работе Уайлса как арифметику нельзя было бы так далеко от истины. Но, по-видимому, распространено мнение, что математик - это тот, кто смешивает 99 формул вместе и создает 100-ю формулу.
То, что говорят некоторые из величайших математиков, звучит иначе. Аристотель пишет в своей «Метафизике»: «Математические науки в особенности выражают порядок, симметрию и ограниченность - и это высшие формы красоты». Иоганн Кеплер, и без того склонный к бреду, был очарован «золотыми» пропорциями математики. Анри Пуанкаре сформулировал поразительную фразу: «Эстетическое, а не логическое является доминирующим компонентом математического творчества». Г. Х. Харди, знаток теории чисел, производящий заведомо сложные формулы, заметил с нехарактерным для британцев преувеличением: «Для уродливой математики нет постоянного места!» Я надеюсь, что окончательно поколебал ваш взгляд на математика как на строгого математика, когда процитирую физика Поля Дирака: «Более важно, чтобы уравнение было красивым, чем чтобы оно согласовывалось с экспериментом. Пожалуй, наиболее лаконично Адамар описывает это присутствие красоты в своей «Психологии изобретения»: «Математический гений обнаруживает себя двояко; она выбирает с безошибочной уверенностью единственно верную из множества альтернатив и руководствуется при этом идеей совершенства, предчувствием рая, вечно действительным».
Не следует думать, что математики имели дело только с красотой в своих мета-скриптах - как раз наоборот. В основном речь идет о математике как концептуальной модели, как отражении действительности, короче: знании и истине. Аналогично пишет тот же Пуанкаре в своих «Последних мыслях»: «Наука есть стремление к истине на моральной основе. Витгенштейн подчеркивает категорическую строгость логики, а Поппер ввел в науку мазохистский принцип: теория чего-то стоит только в том случае, если ее можно опровергнуть. Можно прочитать такие предложения, как: «Только польза возвышает знание», «Математика - это гуманизм», а в, возможно, лучшей из недавних книг «Математика опыта» Дэвиса и Херша четыре из 400 страниц посвящены вопросам эстетики.
Даже если эстетический аспект отходит на второй план, кажется, что это объединяющая связь. Когда рецензент указывает на важные приложения математической работы, автор будет доволен; но если он напишет в своем изложении: «Красота теоремы не уступает изяществу ее доказательства», он может быть уверен в умилении и вечной благодарности автора.
Книга доказательств
Легенды обычно сплетаются после смерти. Если они создаются при жизни, то они должны быть о неординарном человеке - а венгерский математик Пауль Эрдёш был таким явлением раз в столетие. Он был самым продуктивным математиком в новейшей истории с более чем 1500 публикациями. Он без устали путешествовал с континента на континент, одну неделю в Иерусалиме, затем в США, а в следующем месяце должен был приземлиться в Берлине. Его приветствие с чемоданом в руке было также его девизом: «Мой мозг открыт». Столь же щедрый в жизни, как и в науке, он не только раздал большую часть своих многочисленных наград, но и делился своими идеями и вспышками вдохновения со всеми, кто был готов его слушать. Он жил для математики и в математике. Есть бесчисленное множество анекдотов об Эрдёше, следующие имеют честь быть правдой, потому что я сам был там. Как-то вечером около 10 вечера мы втроем сидели в Нью-Йорке с проблемой, а точнее: мы застряли и не могли продвинуться дальше. Внезапно Эрдос сказал: «Было бы лучше, если бы мы позвонили моему другу Давенпорту в Кембридж, который, безусловно, может нам помочь». - Но, - возразил я, - сейчас в Кембридже четыре часа утра. Эрдос тогда: «Тем лучше, если он дома в безопасности."
Некоторые доказательства прекрасны, просто у них есть маленький недостаток, заключающийся в том, что они неверны. Третьи правы, но уродливы.
Повторяющееся изречение Пола Эрдёша приводит прямо к нашей теме. Некоторые доказательства, сказал он, прекрасны, просто в них есть маленький изъян, говорящий о том, что они неверны. Третьи правы, но уродливы. Но он был убежден, что для каждого математического утверждения есть «то самое» доказательство, и даже больше: есть КНИГА, в которой Бог хранит совершенные доказательства. И добавил: «Не надо верить в Бога, но как математику следует верить в существование книги». В середине 1990-х Гюнтер Циглер и я предложили вместе записать первый (и очень скромный) подход к КНИГЕ. Эрдёш с энтузиазмом воспринял эту идею, но не дожил до завершения «Доказательств из КНИГИ». Вероятно, он был бы менее удивлен, чем мы, подавляющим откликом на КНИГУ. Математики в основном интроверты. Бесчисленные письма, которые мы получили, с предложениями, исправлениями, личным опытом и большим количеством одобрения, поэтому равносильны настоящему взрыву эмоций. КНИГА, по-видимому, задела струну, присущую каждому математическому инструменту, с элегантностью как общим настроением.
Легкость момента
Суть математики заключается в доказательстве теорем, и этим занимаются математики: они доказывают теоремы. Но, если честно, то, что они действительно хотят доказать хотя бы раз в жизни, - это лемма, подобная лемме Фату в анализе или лемме Гаусса в теории чисел. Почти каждое известное имя связано с такой леммой - это слово звучит почти мифически для ушей математика.
Теперь, когда математическое утверждение становится реальной леммой? Во-первых, утверждение (и доказательство) должно быть совершенно прозрачным: Сложное становится простым и логичным, и вы знаете: Вот оно! Возможен также острый приступ livor acadecus (особенно распространенная форма обычной зависти): почему я этого не видел? Во-вторых, предложение должно быть строгим (или на математическом жаргоне: глубоким). Доказательство показывает, что действительно важно; он имеет множество применений, даже для решения проблем, которые кажутся несвязанными. И, наконец, должен быть момент легкости. У каждого ученого есть мешок, полный методов, которые он постоянно открывает (говорят, что некоторые, в том числе выдающиеся, освоили целые дисциплины с помощью одной лишь идеи). Но есть такие исключительные таланты, которые решают алгебраическую задачу методами топологии и наоборот, которые показывают нам, что математика во всем ее многообразии образует чудесную единицу, которая на мгновение дает нам представление о легкости мышления. Прозрачность, строгость и легкость составляют триаду элегантного доказательства.
Когда в 1976 году с огромными компьютерными усилиями была решена знаменитая проблема четырех красок, которая была открыта в течение 100 лет, это вызвало споры, которые продолжаются по сей день: допустимо ли такое доказательство? Компьютеризированное доказательство такой длины невозможно проверить тем, у кого нет аналогичной вычислительной мощности. Грубо говоря, это скорее вопрос веры, чем математический факт. Такие возражения сегодня не очень актуальны, в том числе из-за возросших вычислительных мощностей. Компьютер ничем не отличается от математиков с карандашом и бумагой: он действует шаг за шагом, пока не станет доступен результат. Но в том-то и дело: компьютерное доказательство не прозрачно и не одушевлено легкостью, но, главное, оно нас ничему не учит. Он разбивает проблему на конечное число отдельных случаев, а затем исключает один случай за другим, короче: он убивает предложение вместо того, чтобы объяснять его.
Компьютерное доказательство не является ни прозрачным, ни беззаботным, но, прежде всего, оно нас ничему не учит.
Физика Юджина Вигнера часто цитируют как высказывание о «необоснованной эффективности математики». Эрвин Шредингер выражает это более скромно: «Мы не знаем, работает ли природа по математическим законам, но пока у нас нет ничего лучше. Я хотел бы дополнить остроумие Вигнера предложением о «неразумной красоте математики». «Красивая формула часто близка к истинной природе, а изящное доказательство часто дает нам наибольший выигрыш в знаниях."