Николай Лобачевский (1792-1856): изобретатель новой геометрии
Он основал новую область исследований с гиперболической геометрией.
Николай Иванович Лобачевский родился в Нижнем Новгороде. Когда в 1799 году умер отец, мать переехала в Казань на Средней Волге. Там в 15 лет он начал изучать медицину в только что основанном университете, но через год переключился на математику. Профессором математики был назначен Мартин Бартельс, друг Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), ранее работавший учителем в Германии. Лобачевский закончил учебу по математике в 19 лет, в 24 года был назначен профессором Казанского университета, позже стал деканом и ректором этого университета.
В возрасте 22 лет он уже занимался вопросом о значении так называемой аксиомы параллельности, которая является пятым постулатом геометрии Евклида. Многие математики интересовались этим постулатом с древних времен, но только Лобачевский, Гаусс и Янош Бойяи почти одновременно сделали новые решающие открытия; однако при жизни они не были признаны.
Сам Лобачевский также был удостоен высоких почестей, таких как возведение в потомственное дворянство; однако это произошло не из-за его открытия/изобретения новой геометрии. Его «Геометрические исследования теории параллелей» 1840 года большинство считало безумными идеями заслуженного ученого.
Евклид около 300 г. до н.э. до н.э. в первом томе своих «Начал» изложил систему из пяти постулатов, из которых должны быть выведены все геометрические теоремы:
- 1. Две точки всегда можно соединить линией.
- 2. Отрезок всегда можно продолжить до прямой линии.
- 3. Окружность задается указанием центра и радиуса.
- 4. Все прямые углы равны друг другу.
- 5. Если прямая пересекает две прямые и образует с ними с одной и той же стороны внутренние углы, которые вместе меньше двух прямых углов, то эти две прямые пересекаются на той стороне, на которой лежат два угла, которые вместе меньше двух прямых углов.
Поразительно, что формулировка 5-го постулата существенно отличается от остальных четырех постулатов. Многие выдающиеся математики тщетно пытались показать, что этот постулат можно вывести из первых четырех постулатов. Со временем были обнаружены и другие эквивалентные системы постулатов. Например, 5-й постулат можно заменить на:
"Дано прямая g и точка P, не принадлежащая этой прямой, можно провести ровно одну прямую, которая проходит через точку P и параллельна g."
Эту формулировку иногда называют «Аксиомой параллелей». Другие эквивалентные фразы: «Сумма внутренних углов треугольника равна 180°». или «Углы шага при пересечении параллелей равны». Примерно в 1817 году Гаусс осознал, что аксиома параллельности не может быть выведена из первых четырех постулатов, и исследовал вопрос о том, какая геометрия получится, если пятый постулат не будет считаться действительным. Хотя он обсуждал свои подходы с другом, венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1775-1856), он уклонялся от публикации своих размышлений, как авторитарно заявил философ Иммануил Кант несколькими годами ранее в своей «Критике чистого разума». «…что евклидова геометрия необходима для мышления, т. е. бесспорно верна.
Сын Фаркаша Бойяи Янош Бойяи (1802-1860), однако, проигнорировал опасения своего отца и с 1823 года разработал «новую» геометрию без аксиомы параллельных.
В далекой Казани Николай Иванович Лобачевский в 1826 г. читал лекцию по «воображаемой» геометрии - не зная об исследованиях Яноша Бойяи: Для данной прямой g должно быть не менее двух параллельных прямых, проходящих через пробег по заданной точке (которой нет на g).
В последующие годы он опубликовал несколько эссе, неизвестных в Западной Европе; только статья, появившаяся на французском языке в 1837 году, привлекла внимание математического мира к гению с Востока. Гаусс был настолько впечатлен работами по «неевклидовой геометрии» (термин происходит от Гаусса), что организовал назначение Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского университета.
геометрия Лобачевского также известна как «гиперболическая геометрия»; обозначение указывает на то, что возможна иллюстрация (модель) на гиперболоиде; однако это было обнаружено только после смерти Лобачевского.
Измененный 5-й постулат имеет неожиданные последствия: в треугольнике сумма внутренних углов всегда меньше 180°. Если два треугольника имеют одинаковые углы, то они равны. Множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от данной прямой и лежащих в одной полуплоскости этой прямой, сами по себе не образуют прямую. Не всегда можно провести окружность через три точки, не лежащие на прямой. и т.д.
Лобачевский получил большое признание как преподаватель и ректор университета; его книга по математическому анализу содержала ряд новых идей и методов, в том числе метод итеративного определения корней многочленов n-й степени: например, многочлен имеет 3.степени корней \(r_1, r_2, r_3) с помощью \(|r_1|>|r_2|>|r_3|), затем:
\(f(x)=x^³ + a_2 x^² + a_1 x +a_0=(x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) с \(a_2=(r_1+ r_2) +r_3), a_1=r_1r_2+r_1r_1r_3+r_2r_3, a_0=-r_1r_2r_3)
В результате получается еще одна функция 3-й степени, нули которой являются квадратами исходных нулей:
\(f_1(x)=-f(sqrt{x}) cdot f(-\sqrt{x}))
\(=(x-r_1^²)(x-r_2^²)(x-r_3^²)=x^³+b_2x^²+b_1x+b_0) с
\(b_2=-(r_1^²+r_2^² +r_3^²)=-a_2^² +2a_1, b_1=r_1^²r_2^² + r_1^²r_3^² + r_2^²r_3^² )
\(=a_1^²-2a_2 a_0, b_0=- r_1^²r_2^²r_3^²=-a_0^²)
Если процедура продолжается, нули все дальше и дальше друг от друга, поскольку они возведены в квадрат, и коэффициенты многочленов также увеличиваются в абсолютном выражении.
Из \(f(x)=x^³+3x^²-4x-2) становится \(f_1(x)=x^³-17x^²+28x-4, f_2(x)=x^³-233x^²+648x-16) и \(f_3(x)=x^³-52993x^²+412448x-256)
Частные последовательных коэффициентов всегда обеспечивают лучшие приближения для нулей (их знаки получаются методом проб и ошибок):
\(-\frac{b_2}{b_3}=-\frac{-17}{1}=\frac{r_1^2+r_2^2+r_3^2}{1}\приблизительно r_1^ 2) (-\frac{b_1}{b_2}=-\frac{28}{-17}=\frac{r_1^2r_2^2+r_1^2r_3^2+r_2^2r_3^2}{r_1^ 2+r_2^2+r_3^2}) (=\frac {r_2^2+r_3^2+\frac{r_2^2r_3^2}{r_1^2}}{1+\frac{r_2^2 }{r_1^2}+\frac{r_3^2}{r_1^2}}\приблизительно r_2^2) (frac{b_0}{b_1}=-\frac{-4}{28}=\ гидроразрыва{r_1^22_2^2r_3^2}{r_1^2r_2^2+r_1^2r_3^2}) (=\frac{r_3^2}{1+\frac{r_3^2}{r_2^2} +\frac{r_3^2}{r_1^2}}\приблизительно r_3^2), также \(r_1\приблизительно -4, 12, r_2\приблизительно 1, 28, r_3\приблизительно -0, 38)
Из многочлена \(f_3(x)) получаются нули с точностью до 3-х знаков \(r_1 \приблизительно -\sqrt[8]{52993} приблизительно -3, 895, r_2\приблизительно \ sqrt [8] { frac {412448} {52993}} приблизительно 1,292 ) (r_3 \ приблизительно - \ sqrt [8] { frac {256} {412448}} приблизительно -0,397 )