Многогранники Джонсона

Многогранники Джонсона

Набор для многогранников

Обзор

• Набор для многогранников
• Склеить многогранники вместе
• Экзотика Джонсона

В этом и двух следующих выпусках я хочу рассказать вам о славе трех великих мастеров многогранников. Что примечательно в их работах, так это не обязательно один гениальный штрих (хотя есть, безусловно, замечательные отдельные открытия, о которых следует сообщить), а просто невероятное терпение авторов. Все трое исследовали классы эдров, которые внушают благоговение своими размерами.

Более точно: все три случая касаются многогранников, ограниченных правильными многоугольниками. Таким образом, в каждом из этих многогранников имеется только одна длина ребра. За исключением нескольких частных случаев - призмы и антипризмы - количество сторон этих многоугольников ограничено, а условие «в качестве интерфейсов только правильные многоугольники» весьма ограничительно. Соответственно, в соответствующем классе имеется лишь конечное число многогранников. Но они очень индивидуальны; о них не так много общих утверждений, но почти каждое из них нужно рассматривать индивидуально и, возможно, также конструировать, а это требует времени. Признаюсь, я с трудом могу себе представить ситуацию, в которой я был бы готов взяться за такую классификационную задачу. Лишение свободы не менее года? Но разрешены ли в камере ножницы и ножи?

Хватит преамбулы. Возрадуемся тому, что великие мастера четко записали свои произведения, предаемся тихому любованию и удовлетворимся тем, что отщипнем от большого пирога ту или иную изюминку.

Моего первого героя зовут Норман В. Джонсон; когда он написал свою композицию выпуклых многогранников с правильными гранями в 1964 году, он работал в Мичиганском государственном университете. Его многогранники, которые теперь известны под названием «тела Джонсона» и их можно несколько раз найти в Интернете, поэтому могут иметь несколько типов боковых граней, если все они являются правильными многоугольниками. Итак, архимедовы тела? Еще более общий. Платоновые и архимедовы тела являются частными случаями «тел Джонсона». Основное отличие состоит в том, что в многогранниках Джонсона углы больше не должны быть одинаковыми. Выпуклые тела, состоящие только из равносторонних треугольников, которые я описал в эпизоде 6, являются первыми примерами нетривиальных многогранников Джонсона.

Рецепт, который дает большое количество многогранников с правильными гранями, включая ряд упомянутых треугольных тел, - это то, что Джонсон называет «вырезать и вставить»: вырезание и склейка вместе. Для разрезания подходит ряд тел, которые сами по себе вполне регулярны: платоновы или хотя бы архимедовы, а также имеют непрерывные «нижние трети», т. е. последовательности ребер, которые все лежат в одной плоскости (и не все граничат с одной и той же поверхностью, потому что они лежат в одной плоскости не примечательно). Это октаэдр, икосаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, ромбо-кубооктаэдр и ромбо-икосидодекаэдр. Все их можно разрезать по нижней трети, открывая все виды правильных многоугольников от квадратов до десятиугольников (см. короткие фильмы на этой и следующей страницах). Таким образом, два фрагмента являются многогранниками Джонсона, поскольку они выпуклы и ограничены только правильными многоугольниками.

Склеить многогранники вместе

Но это еще не все. Вместе с «меньшими» (не особенно сферическими) платоновыми и архимедовыми телами, а также с призмами и антипризмами части усеченного многогранника образуют обширный набор строительных блоков. Две из них можно соединить вместе, если они имеют одинаковые боковые грани. Половина восьмигранника на вершине куба образует симпатичный домик с четырехугольной крышей, несомненно, выпуклой. Общее: Трех-, четырех-, пятигранная пирамида на одинаково многогранной призме или антипризме, или ниже, или на обеих дает многогранник Джонсона. Или две одинаковые пирамиды прямо друг над другом. Или пирамида на одной из квадратных сторон трехгранной призмы.

Отсечки различных архимедовых тел были названы Джонсоном собственными именами: «купол» (coupola) - это имя тела, с помощью которого n квадратов прикрепляются к n -уголку (n=3, 4 или 5), оставляют между ними треугольные промежутки, в результате чего на другом конце находится (2n)-угольник. Пятигранная «ротонда» представляет собой половину икосододекаэдра и также имеет десятиугольную грань. Если поверхности разреза имеют одинаковые номера сторон, эти строительные блоки укладываются непосредственно друг на друга, либо прямо (например, квадрат на квадрат), либо скручены (например, квадрат на треугольник); ибо две стороны купола или ротонды принадлежат к двум разным классам, потому что они граничат попеременно с треугольником или с чем-то другим. Или между ними можно поставить призму или антипризму нужного размера.

Однако приходится каждый раз проверять, является ли составная структура вообще выпуклой. Идея укладки нескольких антипризм друг на друга или покрытия куба пирамидами со всех сторон терпит неудачу из-за этого условия. Запрещен даже пограничный случай выпуклости, когда две смежные поверхности лежат в одной плоскости. В противном случае можно было бы сложить призмы друг на друга или склеить тетраэдры с октаэдрами (сравните эпизод 1).

Джонсон давал своим многогранникам такие длинные, составные и латинско-греческие названия, что они сделали бы честь любому немецкому химику 19-го века. Но, как и названия химических веществ, эти названия также предназначены для предоставления информации о составе их носителя. «Удлиненная пятиугольная ортокупола» - это, конечно же, двойной (би-) пятиугольный (пятиугольный) купол (купола), два купола, расположенные прямо (орто) друг над другом, и десятигранная призма, вставленная между ними (удлиненная). С антипризмой вместо призмы штуку назвали бы "гироудлиненной". На самом деле все вполне логично.

Некоторые имена можно запомнить, только выучив их наизусть. Джонсон не говорит нам, почему он называет две трехгранные призмы, склеенные квадрат к квадрату, «гиробифастигиумом». Но, должно быть, он что-то задумал. Некоторые многогранники имеют даже более одной нижней трети, по которой их можно разрезать так, чтобы секущие плоскости не конфликтовали друг с другом. Так что от икосаэдра можно отрезать не только пятигранную пирамиду, но и до трех.

Экзотика Джонсона

Кроме этих еще достаточно правильных многогранников, существует целый ряд тел, которые нельзя получить сборкой или разрезанием. Как воображению Джонсона удалось найти их все, остается для него загадкой. Я все еще могу понять то или иное. Курносый куб (ср. Эпизод 10): Квадрат, на нем четыре треугольника, всего шесть раз, и кончики треугольников заходят в промежутки между треугольниками другой части. В каждом углу квадрата есть три треугольника.

Если взять четыре треугольника вместо трех, то сумма углов (4 · 60 + 90=330 градусов) все равно меньше 360 градусов, значит, есть несмятый угол. Таким образом, квадрат имеет двенадцать треугольников вокруг себя со слегка волнистой линией края. Соедините две из этих фигур вместе, гребень одной во впадине другой, и вы получите то, что Джонсон называет «прямоугольной антипризмой». Пять треугольников упираются друг в друга углами без квадратов.

Это сразу заметно по пластиковым поверхностям игрушек: пять треугольников вокруг одной точки все еще оставляют достаточно места для раскачивания. Поэтому может случиться так, что двенадцать треугольников, которые вот-вот должны были соединиться с восемью другими, образуя икосаэдр, вместо этого предлагают ровно два квадрата в качестве удобной подушки. Это "Сфенокорона". И его можно расширить несколькими треугольниками, чтобы он стал "Hebesphenomegacorona", если вас устраивает тот факт, что вокруг некоторых углов есть только четыре вместо пяти треугольников.

Но как же Джонсон придумал такую странную вещь, как «Билунабиротунда» с четырьмя пятиугольниками, двумя квадратами и восемью треугольниками? Я не могу себе этого представить.

Тем временем билунабиротонда завоевала большую честь: она позволяет бесконечному числу кубов и додекаэдров сосуществовать в пространственно-периодическом расположении. Это примечательно, потому что эти два тела принадлежат враждебным семьям и поэтому не хотят совмещаться. Но Билунабиротунды бросаются между ними, касаясь додекаэдра своими пятиугольными сторонами, кубов - квадратными, а треугольными? Ваш вид. Норберт Трейц подробно описал это в статьях «Спектрума» «Волшебный сад многогранников» и «Тайники Билунабиротонды».

В целом Джонсон составил внушительный список из 92, не считая платоновых и архимедовых тел и бесконечного числа призм и антипризм. Но исчерпал ли он все возможности? Это почти как если бы вы хотели спросить зоолога, не упускает ли он из виду какие-либо виды комаров в джунглях. Но это не так уж плохо. Джонсон мог только предполагать, что его список полон. Но через некоторое время русский по имени Залгаллер доказал это.

Замечания и предложения всегда приветствуются!

С уважением

Кристоф Поппе

Редактор Spektrum der Wissenschaft

Библиография:

Норман В. Джонсон: Выпуклые многогранники с правильными гранями. Canadian Journal of Mathematics 18 (1966), 169-200.