Где математики тщетно ищут ориентацию
Что такое большое, серое, неориентируемое и плавающее в море? Что ж, шутка имеет сомнительный юмористический потенциал. Но его предыстория тем увлекательнее!
Так что же такое большое, серое, неориентируемое и плавающее в море? Ответ: «Мебиус Дик». Чтобы уметь смеяться над шуткой, надо прежде всего понять, что имеется в виду под выражением «неориентируемый». В математике так вы описываете поверхность, которая имеет только одну сторону и одно ребро; то есть область, где вы не можете различить внутреннее и внешнее или верхнее и нижнее.
Эта формула описывает (в цилиндрических координатах) именно такую площадь:
Но что действительно удивительно, так это то, что очень легко сделать что-то подобное самостоятельно. Все, что вам нужно, это достаточно длинная полоска бумаги, концы которой склеиваются, образуя кольцо. Но сначала вы должны повернуть один конец на 180 градусов по отношению к другому. Получается поверхность, фактически не ориентируемая. Если у вас есть какие-либо сомнения по этому поводу, вы можете попробовать пометить внутреннюю и внешнюю часть ремешка разными цветами. И неизбежно потерпит неудачу: этот конкретный персонаж, несомненно, имеет только одну сторону. Если вы начнете раскрашивать «одну сторону» и будете двигаться вдоль кольца, вы всегда будете раскрашивать всю полосу и никогда не столкнетесь с «другой стороной», чтобы пометить ее другим цветом.
Эта область названа в честь немецкого математика Августа Фердинанда Мёбиуса, который до своей смерти в 1868 году был профессором астрономии в Лейпцигском университете, а затем профессором высшей механики и астрономии в Йенском университете. Однако в основном он занимался математикой и в 1858 году описал фигуру, которая сегодня носит его имя, «ленту Мебиуса». Независимо от него (и, вероятно, даже немного раньше) то же самое сделал геттингенский математик Иоганн Бенедикт Листинг - но, как это часто бывает в науке, всю славу пожинал один человек, а другой был забыт.
Лента Мебиуса - замечательная игрушка с захватывающими свойствами. Если разрезать его пополам вдоль продольной оси, то получится не два кольца, а одна полоса, которая теперь в два раза больше. Я не хочу раскрывать, что происходит, когда вы разрезаете ленту на три части вдоль длинной оси, но читателям предлагается попробовать это самим и увидеть неожиданный результат.
Странная фигура Мёбиуса производила впечатление не только на математику, но и прежде всего на искусство. Картины Мёбиуса голландского художника-графика М. С Эшер; представление о неориентируемой поверхности также можно встретить в фантастической литературе или в кинофильмах. Группа появляется на логотипе Немецкой ассоциации математиков, а также - несколько неожиданно - на логотипе Федеральной гильдии ассоциации поставщиков строительных услуг. Разработан вариант шахмат, в котором игровое поле имеет форму ленты Мебиуса и шестеренки, ремни которых имеют только одну сторону. На предстоящую зиму можно связать шарф Мёбиуса, который согревает не лучше обычного, но точно понравится любителям математики.
Его можно найти даже в природе с некоторыми растительными пептидами: «циклотиды Мёбиуса» представляют собой цепочки аминокислот, которые объединяются, образуя ленту Мёбиуса. В экспериментальных ядерных термоядерных реакторах горячая плазма выталкивается магнитами на дорожку Мебиуса, а в видеоигре «Mario Kart 8» вы можете совершать гонки на неориентируемой дорожке.
Как бы часто вы ни сталкивались с этой поверхностью: она всегда вас удивляет и трудно поверить, что такое существует на самом деле. А как только к этому привыкаешь, попадаешь в «бутылку Кляйна», и становится только хуже. Но это уже другая история…