Турбулентность вызывает у многих людей беспокойство или прямую тошноту. И это также доставляет исследователям головную боль. Математики пытались понять турбулентность, возникающую, когда поток взаимодействует с границей, в течение века или более, но формулировка оказалась неуловимой.
Теперь международная группа математиков, возглавляемая профессором Калифорнийского университета в Санта-Барбаре Бьёрном Бирниром и профессором Университета Осло Луизой Ангелутой, опубликовала полное описание турбулентности пограничного слоя. Статья опубликована в Physical Review Research и обобщает десятилетия работы по этой теме. Теория объединяет эмпирические наблюдения с уравнением Навье-Стокса - математической основой гидродинамики - в математическую формулу.
Это явление было впервые описано примерно в 1920 году венгерским физиком Теодором фон Карманом и немецким физиком Людвигом Прандтлем, двумя корифеями гидродинамики. «Они оттачивали то, что называется турбулентностью пограничного слоя», - сказал Бирнир, директор Центра сложных и нелинейных наук. Это турбулентность, возникающая при взаимодействии потока с границей, такой как поверхность жидкости, стенка трубы, поверхность Земли и т. д.
Прандтль экспериментально выяснил, что он может разделить пограничный слой на четыре отдельные области в зависимости от близости к границе. Вязкий слой формируется непосредственно у границы, где турбулентность гасится толщиной потока. Далее следует переходная буферная область, за которой следует инерционная область, где турбулентность развита наиболее полно. Наконец, есть след, где поток в пограничном слое меньше всего зависит от границы, в соответствии с формулой фон Кармана.
Жидкость течет быстрее, чем дальше от границы, но ее скорость изменяется весьма специфическим образом. Его средняя скорость возрастает в вязком и буферном слоях, а затем переходит к логарифмической функции в инерционном слое. Этот «логарифмический закон», обнаруженный Прандтлем и фон Карманом, поставил в тупик исследователей, которые пытались понять, откуда он взялся и как его описать.
Вариация потока - или отклонение от средней скорости - также продемонстрировала своеобразное поведение в пограничном слое. Исследователи стремились понять эти две переменные и вывести формулы, которые могли бы их описать.
В 1970-х годах австралийский инженер-механик Альберт Алан Таунсенд предположил, что на форму кривой средней скорости влияют водовороты, прикрепленные к границе. Если это правда, это может объяснить странную форму, которую кривая принимает через разные слои, а также физику, лежащую в основе логарифмического закона, сказал Бирнир.
Перенесемся в 2010 год, и математики из Университета Иллинойса опубликовали формальное описание этих присоединенных водоворотов, включая формулы. В исследовании также описано, как эти водовороты могут передавать энергию от границы к остальной жидкости. «Существует целая иерархия водоворотов, - сказал Бирнир. Меньшие вихри отдают энергию более крупным, которые проникают в инерционный слой, что помогает объяснить логарифмический закон.
Однако существуют и отдельные вихри, которые могут перемещаться внутри жидкости, и они также играют важную роль в турбулентности пограничного слоя. Бирнир и его соавторы сосредоточились на их формальном описании. «В этой статье мы показали, что вам необходимо включить эти отдельные водовороты в теорию, чтобы получить точную форму кривой средней скорости», - сказал он..
Их команда объединила все эти идеи, чтобы вывести математическую формулировку средней скорости и вариации, о которой Прандтль и фон Карман впервые написали около 100 лет назад. Затем они сравнили свои формулы с компьютерным моделированием и экспериментальными данными, подтвердив свои результаты.
«Наконец-то появилась полная аналитическая модель, объясняющая систему», - сказал Бирнир. С помощью этой новой математической формулы ученые и инженеры могут настраивать различные параметры для прогнозирования поведения жидкости.
И турбулентность пограничного слоя проявляется во всех областях, от транспорта до метеорологии и не только. «Я думаю, у него будет много применений», - заметил Бирнир. Например, правильное понимание граничной турбулентности может помочь сделать двигатели более эффективными, уменьшить выбросы загрязняющих веществ и свести к минимуму лобовое сопротивление на всех видах транспортных средств.
Земную атмосферу можно смоделировать как пограничный поток. Несмотря на кажущуюся высоту, атмосфера представляет собой тонкую оболочку из движущегося воздуха, охватывающую поверхность планеты. «Я думаю, что в конечном итоге мы сможем использовать эту теорию для понимания как атмосферной турбулентности, так и струйного течения», - сказал Бирнир."Это будет очень полезно."
Авторы были удивлены, обнаружив, насколько важны отдельные вихри, особенно в объяснении перехода турбулентности в буферном слое. Изучение их поведения начало давать представление о других типах турбулентности.
«В частности, мы получаем представление о лагранжевой турбулентности», - сказал Бирнир, ссылаясь на теорию, описывающую турбулентное поведение, в эталонной известности, которая движется по течению, как плот по реке. Это контрастирует с эйлеровой теорией турбулентности, которая описывает движение жидкости за пределы фиксированной системы отсчета, подобно пирсу на берегу реки. Присоединенные водовороты исчезают в движущейся системе отсчета - так же, как течение кажется исчезающим, когда вы движетесь вниз по течению. «Но отдельные водовороты все еще существуют, - сказал Бирнир, - и они, похоже, играют важную роль в лагранжевой турбулентности».
В настоящее время команда сосредоточена на изучении лагранжевой турбулентности с помощью этих новых инструментов, которые сами по себе изначально появились в результате работы над однородной турбулентностью, где нет границ. «Озарения, которые вы получаете в одной области, помогают вам в другой», - заметил Бирнир.