Евдокс Книдский (408-355 до н.э.)
Евдокс учил своих современников, как обращаться с тогда еще новыми и пугающе иррациональными числами.
Даже если даже не известны точные названия его математических трудов и сохранились лишь фрагменты других его сочинений, можно сказать, что Евдокс Книдский был одним из важнейших математиков древности.
Известно, что ученый, родившийся в Книдосе (Малая Азия), отправился в Таранто (греческая колония на юге Италии) для проведения своих первых математических исследований с Архитом, одним из преемников Пифагора. В Сицилии он получил медицинские знания от Филисто, в Афинах, предположительно, посещал лекции Платона и других философов в Академии, в Гелиополе (Египет) жрецы познакомили его с техникой астрономических наблюдений. Затем он основывает собственную школу в Кизикосе, греческой колонии на южном побережье Мраморного моря, и собирает вокруг себя многочисленных учеников.
Около 368 года он вторично посетил Афины в сопровождении своих учеников, а затем как уважаемый гражданин вернулся в свой родной город Книд, где построил обсерваторию. Его астрономические наблюдения легли в основу (по крайней мере) одной работы, которую Гиппарх Родосский (190-120 гг. до н. э.) использует для своих исследований и размышлений, о чем он с благодарностью сообщает.
Аристотель (384 - 322 до н.э.) сообщил, что Евдокс разработал систему для описания движения планет. Он состоит из 27 сфер с землей в центре.
Евдокс также написал семитомный труд по географии, в котором описал страны и народы известного мира, объяснил политические системы в этих странах и сообщил о религиозных верованиях народов. Эта работа также утеряна, но цитируется многочисленными древними авторами, жившими позже.
Открытие пифагорейца Гиппаса из Метапонта о том, что не все величины, встречающиеся в геометрии, соизмеримы, т.е. измеримы общей мерой, поколебало господствовавшее учение «все есть число» около 500 года до н.э. Например, отношение длины диагонали квадрата к длине стороны квадрата не может быть описано отношением двух натуральных чисел.
Евдокс находит остроумный способ справиться с этой проблемой. Позже Евклид (около 300 г. до н.э.) принимает теорию пропорций Евдокса в качестве Книги V Элементов.
Во-первых, Евдокс определяет, что понимается под отношением: отношение есть отношение двух вещей сопоставимого размера (V.3). Соотношение показывает, во сколько раз первая величина превышает вторую при умножении на вторую (V.4).
Затем следует - на первый взгляд - сложное, но чрезвычайно остроумное определение V.5: Размеры находятся в одинаковом соотношении, первое ко второму и третье к четвертому, если для любых, но равных кратных первой и третьей величины, а также для произвольных, но равных кратных второй и четвертой величин, парные кратные либо оба больше, либо оба равны, либо оба меньше.
Выражено в сегодняшней обычной записи: Две пропорции \(a\:\ b) и \(c\:\ d) размеров \(a), \(b), \(c ), \(d) согласуются, т. е. \(a\:\ b=c\:\ d), тогда и только тогда, когда для произвольных кратных \((m, n \in \mathbb{N})) применяется: Из \(m \cdot a > n \cdot b) следует \(m \cdot c > n \cdot d); из \(m \cdot a=n \cdot b) следует \(m \cdot c=n \cdot d); из \(m \cdot a < n \cdot b) следует \(m \cdot c < n \cdot d).
Изобретательность подхода Евдокса заключается в том, что его определение можно использовать как для рациональных, так и для иррациональных величин: В случае рациональных величин имеет место случай равенства, т.е. кратные \(m), \(n ) укажите, для каких выполняется равенство. Но если величины \(a) и \(b) несоизмеримы, то существуют оба рациональных числа \(frac{m}{n}), для которых \(frac{m}{n} > \frac{b}{a}), а также те, для которых применяется \(frac{m}{n} < \frac{b}{a}).
В принципе, это не что иное, как идея о том, что число делит множество действительных чисел на два непересекающихся подмножества. Но пройдет еще 2200 лет, прежде чем Ричард Дедекинд воплотит эту идею в огранке (Дедекинда), названной в его честь.
В начале Книги X Элементов ЕВКЛИДа можно найти метод вычисления площади, известный как метод исчерпывания с 17-го века: половина большего, из остатка снова больше половины и так далее, то в итоге вы получите остаток меньше заданного меньшего размера.
С помощью этого метода перебора можно определить размер области с любой степенью точности, например размер круга с вписанными многоугольниками. Теорема основана на применении так называемой аксиомы Архимеда, которая утверждает, что для каждых двух величин можно образовать кратное одной величины так, чтобы оно было больше другой величины. Было бы вполне уместно, если бы этот принцип был назван в честь Евдокса; потому что Архимед также прямо называет его создателем аксиомы.
Книга XII Элементов имеет дело с площадями и объемами. Эти объяснения также в основном основаны на теоремах и доказательствах, которые Евклид заимствовал у Евдокса. Доказательство теоремы 2: Площади окружностей равны квадратам их диаметров проводится методом косвенного доказательства (reductio ad absurdum). Предположение, что отношение площадей кругов меньше отношения квадратов диаметров, приводит к противоречию, как и предположение, что это отношение больше.
Доказательство теоремы 18 следует аналогично: объемы сфер ведут себя как кубы их диаметров. Предложения между теоремой 2 и теоремой 18 касаются вычисления объема пирамиды или конуса.
Формулы были известны еще Демокриту (460 - 370 до н.э.), но, как объясняет Архимед в своем труде «О сфере и цилиндре», формулы были впервые доказаны Евдоксом.
Во-первых, он объясняет, как пирамиды с треугольным основанием можно разбить на две равные пирамиды, подобные всей пирамиде и двум призмам. Затем он показывает, что объемы пирамид одинаковой высоты с треугольным (или вообще многоугольным) основанием связаны с площадями оснований. На следующем этапе он показывает, как призму можно разбить на три пирамиды одинакового объема с треугольным основанием. Из теоремы о том, что объемы подобных друг другу пирамид связаны с кубами соответствующих длин ребер, и теоремы о том, что площади оснований пирамид равного объема обратно пропорциональны высотам, окончательно следует, что объемы пирамида составляет ровно одну треть объема призмы с тем же основанием и той же высотой.
Евдоксос также имеет дело с проблемой Дели об удвоении кубов. Эратосфен (276 - 194 до н.э.) сообщает, что богоподобный Евдокс нашел наглядное решение проблемы. К сожалению, никаких дополнительных подробностей не сообщается. Однако говорят, что Платон критиковал эту процедуру за то, что она загрязняет математику.