Бартлетт против прямоугольного окна
В этой статье мы обсудим тот факт, что выбор различных оконных функций включает компромисс между шириной основного лепестка и пиковым боковым лепестком (PSL).
Задний план
Чтобы получить более глубокое понимание, мы вычислим преобразование Фурье треугольного окна, используя преобразование Фурье прямоугольного окна. Связь между этими двумя окнами помогает нам лучше понять компромисс, связанный с выбором различных функций окна.
В первой статье этой серии мы видели, что усечение импульсной характеристики идеального фильтра эквивалентно умножению импульсной характеристики на прямоугольное окно. Преобразование Фурье усеченного импульсного отклика будет иметь рябь в полосе пропускания и стоп-диапазоне. Более того, полоса перехода достигнутого фильтра будет значительно шире, чем идеальный ответ.
Во второй статье показано, что ширина основного лепестка прямоугольного окна определяет ширину полосы перехода фильтра, тогда как PSL окна влияет на рябь в полосе пропускания фильтра. Было показано, что при уменьшении ширины основного лепестка и PSL достигнутый фильтр приближается к идеальному ответу.
Один из способов уменьшить ширину основного лепестка - увеличить количество образцов, $$ M $$. Тем не менее, PSL прямоугольного окна почти не зависит от $$ M $$. Есть ли другой способ уменьшить ширину основного лепестка и одновременно получить меньшую цель PSL «// www.allaboutcircuits.com/technical-articles/undesired-effects-of-windowing-method-in-fir-filter-design/» = "_ blank"> предыдущая статья, показанная здесь:
Рисунок (1) $$ \ frac {W ( omega)} {M} $$ за $$ M = 21 $$
Если мы построим этот спектр, пик бокового лепестка, который меньше 1, будет уменьшаться по сравнению с основным лепестком. Поэтому неизвестное окно $$ w_ {x} (n) $$, чье преобразование Фурье равно квадрату прямоугольного окна, будет иметь меньший PSL. Умножение в частотной области соответствует свертке во временной области. В результате $$ w_ {x} (n) $$ должна быть сверткой двух прямоугольных окон той же длины, которая является треугольным окном.
Чтобы изучить эту идею, в следующем разделе мы вычислим преобразование Фурье треугольного (Bartlett) окна, и мы выделим его связь с преобразованием Фурье прямоугольного окна, чтобы получить более полное представление о компромиссах.
Окно Бартлетта
Окно Бартлетта длиной 21, $$ w_ {Bartlett, 21} (n) $$ показано на рисунке (2). В отличие от прямоугольного окна, Бартлетт имеет более плавный переход от нуля к одному и наоборот.
Рисунок (2) Окно Bartlett для $$ M = 21 $$
Чтобы вычислить преобразование Фурье окна Бартлетта, мы можем рассмотреть рисунок (2) как свертку двух прямоугольных окон длиной 11, $$ w_ {Rectangular, 11} (n) $$.
Конечно, нам нужно будет рассмотреть масштаб масштабирования для этих двух прямоугольных окон, чтобы окно Бартлетта на рисунке (2) после свертки прямоугольных окон. В этом примере коэффициент масштабирования равен $$ \ frac {1} { sqrt {11}} = 0.3015 $$. Это прямоугольное окно показано на рисунке (3).
Рисунок (3) Прямоугольное окно с соответствующей длиной и высотой для вычисления преобразования Фурье окна Бартлетта с $$ M = 21 $$
Поэтому получаем
$$ w_ {Бартлетта, 21} (п) = ( гидроразрыва {1} { SQRT {11}} {w_ прямоугольный, 11} (п)) * ( гидроразрыва {1} { SQRT {11}} w_ {прямоугольный, 11} (п)) $$
Уравнение (1)
Мы знаем, что свертка во временной области равна умножению в частотной области, следовательно
$$ W _ {Бартлетта, 21} ( Omega) = \ гидроразрыва {1} {11} ({W_ прямоугольный, 11} ( Omega)) ^ {2} $$
Уравнение (2)
С нечетным $$ M $$ можно показать, что
$$ W _ {Бартлетта, М} ( Omega) = \ гидроразрыва {2} {М + 1} ({W_ прямоугольная, \ гидроразрыва {М + 1} {2}} ( Omega)) ^ {2} $$
Уравнение (3)
где $$ W_ {Rectangular, M} ( omega) $$ задается уравнением (5) предыдущей статьи как:
$$ W_ {Rectangular, M} ( omega) = \ left { begin {matrix} frac {sin ( frac { omega M} {2})} {sin ( frac { omega} {2 })} & \ omega \ neq 0 \\ M & \ omega = 0 \ end {matrix} right } $$
Уравнение (4)
Уравнение (3) показывает наиболее важные свойства окна Бартлетта:
- Ширина основного лепестка окна Бартлетта: Корни окна Бартлетта длины $$ M $$ совпадают с корнями прямоугольного окна длины $$ \ frac {M + 1} {2} $$, которые находятся на $$ \ frac {4k \ pi} {M + 1} $$ где $$ k $$ - целое число. Поэтому ширина основного лепестка окна Бартлетта почти в два раза больше ширины основного лепестка прямоугольного окна. Другими словами, поскольку сжатие во временной области соответствует расширению в частотной области, и любой Бартлетт связан с прямоугольным окном по половине его длины, мы ожидаем, что ширина основного лепестка окна Бартлетта длины $$ M $$ будет вдвое больше ширины основного лепестка прямоугольного окна той же длины.
- PSL окна Bartlett: для того, чтобы сравнить PSL Бартлетта с прямоугольным окном, рассмотрим нормированное преобразование Фурье прямоугольного окна, как показано на рисунке (1). На этом рисунке величина первого бокового лезвия составляет около 0, 22, что, учитывая нормированную величину, дает PSL $$ 20log (0, 22) approx -13dB $$. Так как преобразование Фурье Бартлетта равно квадрату преобразования Фурье прямоугольного окна, PSL окна Бартлетта будет $$ 20log (0.22 ^ {2}) approx -26dB $$. Выраженный в децибелах, PSL окна Бартлетта уменьшается в 2 раза по сравнению с окном прямоугольного окна.
На рисунке (4) показано преобразование Фурье окна Бартлетта с $$ M = 21 $$, которое построено MATLAB.
Рисунок (4) Величина преобразования Фурье окна Бартлетта с $$ M = 21 $$
Вышеприведенное обсуждение показывает компромисс между шириной основного лепестка и PSL. Поэтому мы можем использовать окно Bartlett с соответствующей длиной $$ M $$, чтобы одновременно уменьшить ширину PSL и основной доли.
На этом этапе читатель может задаться вопросом, есть ли окно, которое может обеспечить лучшую производительность, чем у Бартлетта с точки зрения ширины основного лепестка и PSL? Существует ли оптимальное или почти оптимальное окно для фиксированного $$ M $$?
Резюме
- Чтобы уменьшить PSL, мы можем попробовать различные типы окон, такие как прямоугольник, Bartlett и т. Д.
- Тип окна и длина окна - это два параметра, которые определяют ширину основного лепестка.
- Обычно мы ищем тип окна, который имеет приемлемый PSL, а затем выбираем $$ M $$ достаточно долго, чтобы ширина основного лепестка также уменьшалась до приемлемого значения.
- Ширина основного лепестка окна Бартлетта длины $$ M $$ в два раза больше ширины основного лепестка прямоугольного окна той же длины.
- Выраженный в децибелах, PSL окна Бартлетта уменьшается в 2 раза по сравнению с окном прямоугольного окна.