Отношения между U и I
В двух Законах Кирхгофа рассказывается об отношениях между vofltages и токами в схемах.
Текущий закон Кирхгофа гласит, что: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
Возможно, потребуется еще два вопроса:
- Узел является техническим термином для соединения в цепи, где две или более ветви соединены вместе. На рисунке 2.1 показан узел с четырьмя ветвями;
- фраза алгебраическая сумма напоминает нам, что мы должны учитывать текущее направление, а также величину, применяя действующий закон Кирхгофа.
Этот закон используется в анализе схемы для определения отношений между токами, протекающими в ветвях схемы. Например, на рисунке 2.1 течения, протекающие в четырех ветвях, соединенных с узлом, были определены как I 1, I 2, I 3, I 4 и действующий закон Кирхгофа позволяет записать уравнение, связывающее эти токи.
При внимательном рассмотрении на рисунке 2.1 мы видим, что два тока (I 1, I 2) текут к узлу, а другие два тока (I 3, I 4) текут наружу. «Алгебраическая сумма» должна учитывать эту разницу в относительном направлении.
Чтобы применить действующий закон Кирхгофа строго, мы должны сначала сделать произвольный выбор положительного направления тока.
Предположим, что течения, текущие в узел (I 1, I 2), рассматриваются как положительные вклады в алгебраическую сумму (и наоборот течения, текущие от узла, рассматриваются как отрицательные вклады), то алгебраическая сумма токов будет записана: + I 1 + I 2 - I 3 - I 4, и согласно действующему закону Кирхгофа эта алгебраическая сумма равна нулю:
+ I 1 + I 2 - I 3 - I 4 = 0 (2, 1)
Тот же результат можно было бы получить при противоположном выборе направления положительного тока. Если течения, текущие от узла (I 3, I 4), рассматриваются как положительные вклады в алгебраическую сумму, то алгебраическая сумма токов будет записана: - I1 - I2 + I3 + I4 и приравнивать эту алгебраическую сумму к нулю:
- I 1 - I 2 + I 3 + I 4 = 0 (2, 2)
который является тем же отношением, что и уравнение. 2.1 со всеми членами, умноженными на -1.
Следует подчеркнуть, что выбор условного обозначения при использовании действующего закона Кирхгофа полностью произволен и, разумеется, не имеет никакого значения для полученного результата. Тем не менее, хорошая практика должна быть последовательной в вашем выборе, потому что это минимизирует вероятность ошибки при записи алгебраической суммы.
Уравнения. 2.1 и 2.2 можно переустановить, чтобы показать, что:
I 1 + I 2 = I 3 + I 4 (2, 3)
и обращаясь к рис. 2.1, мы видим, что это уравнение показывает, что ток, текущий в узел, равен текущему потоку. Естественно, эта формулировка возникает из физических соображений тока как потока заряда.
Заряд не накапливается на узле, и поэтому любой заряд, текущий в узел через одну или несколько ветвей, должен вытекать из узла через другие ветви. Следовательно, ток, текущий в, равен текущему потоку из узла.
Пример работы 2.1
Вычислите ток I, текущий в узел.
Решение
Выбор токов, втекающих в узел, как положительный, и применение Кирхгофа
Текущий закон: +3 -2 + I = 0, поэтому I = -1 A
Ток, текущий в узел, равен -1A, что совпадает с + 1A, выходящим из узла
Пример работы 2.2
Вычислите ток I, определенный на диаграмме.
Решение
В этой задаче есть два узла, каждый из которых связан тремя ветвями. Начните с определения тока I, текущего в ветке между двумя узлами. Направление I 'выбрано случайным образом: оно может оказаться положительным или отрицательным. Выбор токов, вытекающих из узлов как положительных, и применение действующего закона Кирхгофа в каждом узле:
- (- 4) + 2 + I '= 0, поэтому I' = -6 A
и: -I '- 6 + I = 0, поэтому I = I' + 6 = 0 A
но есть ли более простой способ? Да! Мы можем объединить два отдельных узла в один супернод, который показан красным на нижней диаграмме. Супернод не может накапливать заряд, поэтому действующий закон Кирхгофа может применяться к токам в ветвях, связанных с ним.
Выполнение того же выбора текущего направления:
- (- 4) + 2 + I - 6 = 0, поэтому I = 0 A
Второе из законов Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа, Закон о напряжении, гласит:
Алгебраическая сумма напряжений вокруг замкнутого контура равна нулю.
Еще раз повторится фраза «алгебраическая сумма», поэтому мы должны признать, что направление напряжений имеет значение при использовании закона напряжения Кирхгофа.
На рисунке 2.2 показан контур схемы, который является частью более крупной схемы. Цикл включает в себя четыре узла ABCD, между которыми соединены четыре компонента. В этом случае четыре компонента являются сопротивлениями, но закон напряжения Кирхгофа может применяться независимо от того, какие компоненты подключены в замкнутом контуре. Напряжения на четырех сопротивлениях, составляющих контур контура, были определены как V 1, V 2, V 3, V 4 и Закон напряжения напряжения Кирхгофа позволяет нам записать уравнение, связывающее эти напряжения. Если мы подумаем о движении по замкнутому контуру в любом направлении, отметим, что четыре напряжения будут встречаться последовательно.
Две стрелки напряжения будут указывать в направлении движения, а два будут выступать против движения. Алгебраическая сумма напряжений должна учитывать эту разницу в относительном направлении.
Чтобы правильно применить Закон напряженности Кирхгофа, мы должны сделать произвольный выбор относительно направления движения вокруг замкнутого контура и вклада, который отдельные напряжения создают в алгебраическую сумму вокруг замкнутого контура. Предположим, что мы перемещаемся по петле на рисунке 2.2 по часовой стрелке (ABCD) и что напряжения, противоположные направлению движения, вносят положительный вклад в алгебраическую сумму. При перемещении от А к В встречается напряжение V 1 и оно находится в направлении, противоположном перемещению. Следовательно, V 1 является положительным вкладом в алгебраическую сумму.
Тот же комментарий справедлив для V 2, который выполняется при переходе от B к C. Однако, путешествуя от C до D и обратно к A, возникают напряжения V 3 и V 4, и в обоих случаях напряжения находятся в одном и том же как движение, давая отрицательный вклад в алгебраическую сумму. Математически выраженная алгебраическая сумма напряжений вокруг замкнутого контура ABCD равна: + V 1 + V 2 - V 3 - V 4 и закону напряжения Кирхгофа, что эта сумма равна нулю:
+ V1 + V2 - V3 - V4 = 0 (2.4)
Тот же результат получается для любого выбора направления движения или вклада напряжения в алгебраическую сумму. Остальные три комбинации:
По часовой стрелке вокруг петли (ABCD), со стрелкой положительной:
- V1 - V2 + V3 + V4 = 0 (2, 5)
По часовой стрелке вокруг контура (ADCB), против стрелки положительный:
- V1 - V2 + V3 + V4 = 0 (2.6)
По часовой стрелке вокруг контура (ADCB) со стрелкой положительный:
+ V1 + V2 - V3 - V4 = 0 (2.7)
Четыре уравнения 2.4 - 2.7 дают точно такое же соотношение между четырьмя напряжениями: все четыре могут быть перегруппированы, чтобы показать, что:
V1 + V2 = V3 + V4 (2.8)
Как и в действующем законе, неплохо быть последовательным в выборе направления и полярности при применении закона напряжения Кирхгофа, так что при записи алгебраической суммы вероятность ошибки возникает меньше.
Рабочий пример 2.3
Вычислить напряжение V
Решение
При произвольном выборе движения по часовой стрелке вокруг петли и подсчета с помощью стрелки напряжения в качестве положительного вклада в алгебраическую сумму закон напряжения Кирхгофа:
-6 - (-10) + V +7 = 0, поэтому V = -11 V
Пример работы 2.4
Вычислить напряжение V
Решение
Этот пример призван продемонстрировать, что «замкнутый контур» не должен определяться непрерывным соединением компонентов: напряжение V представляет собой напряжение между двумя узлами, которые не имеют ничего между ними, однако закон напряжения Кирхгофа по-прежнему действителен, При вращении против часовой стрелки вокруг петли и подсчета против стрелки напряжения в качестве положительного вклада в алгебраическую сумму:
+ V + 2 - 10 - (-8) = 0, поэтому V = 0 V
И, наконец, короткая заметка о нотации. Вы найдете много книг, относящихся к напряжению между двумя точками в цепи, например A и B, с использованием символа VAB.
Естественно, вы будете задаваться вопросом, как это относится к используемой здесь «стрелочной» нотации. Как показано на рисунке 2.3, соглашение состоит в том, что напряжение VAB означает «напряжение в точке A относительно B», поэтому стрелка указывает на A из B.