Вывести и построить функцию передачи низких частот на MATLAB
Станьте чемпионом Akerberg-Mossberg Filters.
Введение в фильтры
Фильтр представляет собой схему, которая удаляет нежелательные частоты из формы волны. Фильтры могут использоваться для удаления шума из системы, чтобы сделать его более чистым. Он состоит из двух основных полос: полосы пропускания и полосы останова.
Чтобы понять полосу пропускания и полосу остановки в фильтре, нам нужно понять графики Боде. График Боде - график, который отслеживает реакцию частот. Он показывает величину сигнала по отношению к частоте. Величина или амплитуда измеряется в децибелах и изображается на оси Y графика Боде. Ось X графика бода - это частота фильтра.
Рисунок 1. Пример низкопроходного участка Боде
Вышеприведенное изображение представляет собой график бода для фильтра нижних частот. Частотами в полосе пропускания являются частоты с амплитудой 0 децибел или выше. Частоты после частот отсечки f c находятся в полосе остановки. Частоты, которые мы хотим удалить, будут в полосе остановки, когда величина меньше нуля.
В зависимости от частоты, которую мы хотим удалить, местоположение полосы пропускания будет меняться для создания основных 4 типов фильтров. Основные четыре типа ответа фильтра:
- Фильтры верхних частот
- Фильтры нижних частот
- Полосовые фильтры
- Фильтры стоп-сигналов
Порядок фильтра показывает, насколько крутой наклон. При каждом повышении по порядку фильтра увеличивается наклон фильтра на 6 дБ / октава. Идеальный идеальный фильтр имел бы наклон бесконечности. Это выглядело бы как квадратная волна. К сожалению, эти идеальные фильтры не могут быть сделаны в реальной жизни, и мы можем делать только фильтры, которые имеют спуск или наклон как можно ближе.
Рисунок 2. Частотная характеристика идеального фильтра
Фильтр Akerberg-Mossberg Biquad
Рисунок 3. Фильтр Akerberg Mossberg
Фильтр Akerberg-Mossberg, как показано на рисунке 3, представляет собой интегратор Миллера с неинвертирующим интегратором на выходе. Преимущества использования фильтра Akerberg-Mossberg - это то, что его проектирование проще, а Q (коэффициент качества частотного отклика) более предсказуем и ошибка в коэффициенте усиления сведена к минимуму. Для нормализованной версии схемы Akerberg-Mossberg выше требуется суммирующая конфигурация, чтобы иметь возможность проектировать схему и строить ее на MATLAB.
Схема суммирования в конце Akerberg-Mossberg будет выглядеть так:
Рисунок 4. Фильтр Аккерга-Моссберга с добавленной суммой
Летом добавляются входные сигналы и сигнал от полосы пропускания и выходов низких частот. Для Аккерберга-Моссберга с суммирующей схемой функция переноса следующая формула.
Уравнение 1. Общая передаточная функция Аккерберга-Моссберга с суммирующей схемой
Теперь с этой передаточной функцией у нас есть 5 переменных, с которыми мы можем играть, чтобы получить желаемую частотную характеристику. Наши 5 переменных - это a, b, c, d и k. Мы будем манипулировать этими переменными только для изменения числителя; наш знаменатель останется прежним. С помощью этой передаточной функции мы можем получить передаточную функцию для всех типов фильтров, таких как низкочастотный, высокочастотный, полосовой, полосный, все проходы, выходы с нижним проходом и выемка высокого прохода.
Получение функции передачи низких частот
Передаточная функция для фильтра Акерберга-Моссберга с низким проходом показана ниже в уравнении 2.
Уравнение 2. Низкий проход Акерберг Моссберг
Теперь нам нужно найти правильные значения для a, b, c и d в уравнении 1, чтобы получить передаточную функцию фильтра нижних частот. Мы видим, что числитель, который мы хотим, имеет только w 0 2, поэтому нам нужно избавиться от других одночленов, чтобы оставить сам w 0 2. Первой переменной, от которой мы хотим избавиться, является первое слагаемое, равное 2. Поэтому в этом случае мы положим a = 0. Второе слагаемое в передаточной функции уравнения 1 имеет переменные «a» и «b». Мы хотим равным нулю, так как мы хотим, чтобы w 0 2 оставалось в числителе.
В этом случае наш «а» уже был установлен на 0 с первым членом и чтобы сделать этот нуль, мы также должны установить «b» в 0. Выполнение этого теперь избавляется от этого второго слагаемого, сделав его равным нулю, Теперь, чтобы последний член был равен w 0 2, нам нужно найти оставшиеся значения «d» и «k». Заметьте, что мы раньше не находили k, потому что его умножали на «b», который был равен нулю.
Наши «а» и «с» уже установлены, поэтому нам не хватает «d» и «k». Чтобы сделать эту конфигурацию возможной, нам нужно было бы сделать «d» и «k» равными 1. После того, как эти переменные будут вставлены, в числителе будет остальная передаточная функция.
Теперь, когда у нас есть все наши значения, мы можем вставить их в MATLAB для построения частотного отклика для этого фильтра.
Графическое отображение в MATLAB
Для начала мы создадим новый скрипт в MATLAB.
Поскольку частотная характеристика или график Боде логарифмическая, первое, что мы будем объявлять, это логарифмический разнесенный вектор. Мы будем использовать:
w = logspace(0, 9, 200); % THE FIRST TWO POINTS ARE THE BOUNDARIES OF THE GRAPH. THE 200 IS THE NUMBER OF POINTS THAT WILL BE GENERATED s=j.*w; a=0; b=0; c=0; d=1; k=1; Q=1; w0=1000; % Chosen Cutoff Frequency tn = -((a*(s.^2))+(s.*(w0/Q))*(a-(b*k*Q))+(w0^2*(a-(cd)*k))); %numerator of transfer function td = (s.^2)+(s.*(w0/Q))+(w0^2); % the denominator of the transfer function t1 = tn./td; %numerator over the denominator plot(log10(w), 20*log10(abs(t1)));grid on;title('Lowpass') % matlab will now plot our transfer function with respect to the graph we declared
Код MATLAB
После того, как все это было введено в MATLAB и сохранено, когда сценарий запущен, этот график появится с низким проходом с отсечкой на частоте w0.