Влияние симметрии на коэффициенты Фурье
Ряд функций Фурье используется для нахождения стационарного отклика цепи. Существует четыре различных типа симметрии, которые могут быть использованы для упрощения процесса оценки коэффициентов Фурье.
Эффект симметрии
- Симметрия четных функций
- Симметрия нечетной функции
- Полуволновая симметрия
- Квартальная волна
Симметрия четных функций
Функция определена даже тогда и только тогда, когда
f (t) = f (-t) 1.1
Если функция удовлетворяет уравнению 1.1, то говорят, что оно равносильно тому, что такие полиномиальные функции с только четными показателями имеют такой тип поведения. Для любых четных периодических функций уравнения для коэффициентов Фурье упрощаются до следующего:
$$ a_ {v} = \ frac {2} {T} int_ {0} ^ {T / 2} f (t) dt. $$ (1.2)
$$ a_ {k} = \ frac {4} {T} int_ {0} ^ {T / 2} f (t) cos k \ omega _ {0} tdt. $$ (1.3)
$$ b_ {k} = 0 $$ для всех k (1.4)
Отмечая для уравнения 1.4, что все b коэффициенты равны нулю, если функция четная. Ниже на рис.1.1 изображена четная периодическая функция. Следующие два производных точно следуют из уравнения 1.2 - 1.4. Через каждый вывод выбирается $$ t_ {0} = -T / 2 $$, а затем мы прерываем интервал интегрирования в диапазоне от -T / 2 до 0 и 0 до T / 2 или следующим образом
$$ a_ {v} = \ frac {1} {T} int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) dt $$
$$ = \ frac {1} {T} int _ {- T / 2} ^ {0} f (t) dt + \ int_ {0} ^ {T / 2} f (t) dt. $$ (1.5)
Рисунок 1.1. Даже функция f (t) = f (-t)
Теперь переменная интегрирования должна быть изменена в первом интеграле в правой части уравнения 1, 5. В частности, мы можем положить t = -x и заметить, что f (t) = f (- x) = f (x) из-за того, что функция четная. Также отмечая, что x = T / 2 при t = - T / 2 и dt = -dx. таким образом
$$ \ int _ {- T / 2} ^ {0} f (t) dt = \ int_ {T / 2} ^ {0} f (x) (- dx) = \ int_ {0} ^ {T / 2 } f (x) dx. $$ (1.6)
что показывает, что интегрирование от -T / 2 до 0 совпадает с интегрированием от 0 до T / 2. Таким образом, уравнение 1.5 совпадает с уравнением 1.2. Вывод уравнения 1.3 может быть выполнено следующим образом:
$$ a_ {k} = \ frac {2} {T} int _ {- T / 2} ^ {0} f (t) cos k \ omega _ {0} tdt + \ frac {2} {T} int_ {0} ^ {T / 2} cos k \ omega _ {0} tdt $$ (1.7)
Однако
$$ \ int _ {- T / 2} ^ {0} f (t) cos k \ omega _ {0} tdt = \ int_ {T / 2} ^ {0} f (x) cos (-k \ omega _ {0} x) (- dx) $$
$$ = - \ int_ {0} ^ {T / 2} f (x) cos k \ omega _ {0} xdx. $$ (1.8)
Аналогично, как и раньше, интегрирование от -Т / 2 до 0 идентично интегрированию от 0 до Т / 2. Объединив уравнение 1.7 с уравнением 1, 8, экв. 1.3. После этого все b коэффициенты равны нулю, когда f (t) является четной периодической функцией, так как интегрирование от -T / 2 до 0 является точным отрицанием интегрирования от 0 до T / 2. Таким образом, $$ \ int _ {- T / 2} ^ {0} f (t) sin k \ omega _ {0} tdt = \ int_ {T / 2} ^ {0} f (x) sin (-k \ omega _ {0} x) (- dx) $$
$$ = - \ int_ {0} ^ {T / 2} f (x) sin k \ omega _ {0} xdx. $$ (1.9)
Теперь, если уравнения 1.2 и 1.3 используются для нахождения коэффициентов Фурье, интервал интегрирования должен быть между 0 и Т / 2.
Симметрия нечетной функции
Периодическая функция определяется как нечетная, если
f (t) = - f (t) (1.10)
Функция, удовлетворяющая уравнению 1.10 называется нечетным из-за того, что таким образом ведут себя полиномиальные функции с только нечетными показателями. Выражения для коэффициентов Фурье следующие
$$ a_ {v} = 0; $$ (1.11)
$$ a_ {k} = 0, $$ для всех k; (1.12)
$$ b_ {k} = \ frac {4} {T} int_ {0} ^ {T / 2} f (t) sin k \ omega _ {0} dt. $$ (1.13)
Рисунок 1.2
Глядя на уравнения 1.11 - 1.13, все коэффициенты а равны нулю, если периодическая функция нечетна. Показанный выше рисунок иллюстрирует нечетную периодическую функцию. Тот же метод деривации используется на уравнениях 1.11 - 1.13, как было использовано при выводе уравнений 1.2 - 1.4.
Четность (нечетность) функции можно разобрать, сдвинув периодическую функцию вдоль оси времени. По существу это означает, что мудрый выбор, где t = 0, может дать функцию либо нечетной, либо четной симметрии. Например, треугольная функция на рис. 1.3 (а) не четна или нечетна. Тем не менее, эта функция может быть выполнена даже, как показано на рис. 1.3 (b), или нечетной, как показано на рис. 1.3 (с).
Рисунок 1.3.
Полуволновая симметрия
Говорят, что функция имеет полуволновую симметрию, если она удовлетворяет следующему ограничению:
f (t) = - f (t - T / 2) (1.14)
Уравнение 1.14 выражает, что периодическая функция имеет полуволновую симметрию, если после ее сдвига на половину периода и инвертированной, она называется идентичной исходной периодической функции. Например, периодические функции, изображенные на рисунках 1.2 и 1.3, обладают полуволновой симметрией, тогда как функции на рисунках 1.4 и 1.5 не обладают такой симметрией. При t = 0 полуволновая симметрия не существует как функция.
Если заданная функция обладает полуволновой симметрией, то и k и b k определяются как ноль для четного значения k. Аналогично, v также равно нулю из-за того, что среднее значение периодической функции с этой симметрией равно нулю. Выражения для коэффициентов Фурье заключаются в следующем:
$$ a_ {v} = 0, $$ (1.15)
$$ a_ {k} = 0, $$ для k четных (1.16)
$$ a_ {k} = \ frac {4} {T} int_ {0} ^ {T / 2} f (t) cos k \ omega_ {0} tdt, $$ для k нечетное (1.17)
$$ b_ {k} = 0, $$ для k четных (1.18)
$$ b_ {k} = \ frac {4} {T} int_ {0} ^ {T / 2} f (t) sin k \ omega_ {0} tdt, $$ для k нечетное (1.19)
Уравнения получены от начала с формул 1.2 - 1.4 из предыдущей статьи, « Узнайте о коэффициентах Фурье». Выбирается интервал интегрирования от -T / 2 до T / 2, а затем этот диапазон делится на интервалы - от T / 2 до 0 и от 0 до T / 2.
$$ a_ {k} = \ frac {2} {T} int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} f (t) cos k \ omega_ {0} tdt $$
$$ = \ frac {2} {T} int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) cos k \ omega_ {0} tdt $$
$$ = \ frac {2} {T} int _ {- T / 2} ^ {0} f (t) cos k \ omega_ {0} tdt $$
$$ + \ frac {2} {T} int_ {0} ^ {T / 2} f (t) cos k \ omega_ {0} tdt $$ (1.20)
Отсюда изменяется переменная в первом интеграле в правой части.
t = x - T / 2
затем
x = T / 2, если t = 0
x = 0, если t = - T / 2;
dt = dx
Переписывая первый интеграл, $$ \ int _ {- T / 2} ^ {0} f (t) cos k \ omega_ {0} tdt = \ int_ {0} ^ {T / 2} f (x - T / 2) cos k \ omega_ {0} (x - T / 2) dx $$ (1.21)
Учитывая, что
$$ \ cos k \ omega_ {0} (x - T / 2) = \ cos (k \ omega_ {0} x - k \ pi) = \ cos k \ pi \ cos k \ omega_ {0} x $$
и, постулируя, f (x - T / 2) = - f (Ix)
Таким образом, уравнение 1.21 теперь можно записать как
$$ \ int _ {- T / 2} ^ {0} f (t) cos k \ omega_ {0} tdt = \ int_ {0} ^ {T / 2} (- f (x)) cos k \ omega_ {0} tdt $$ (1.22)
Включая уравнение 1.22 в уравнение 1.20, $$ a_ {k} = \ frac {2} {T} (1 - \ cos k \ pi) int_ {0} ^ {T / 2} f (t) cos k \ omega_ {0} tdt $$ (1, 23)
Однако $$ \ cos k \ pi $$ равно 1, если k четно и -1, если k нечетно.
Резюмируя, представление рядов Фурье периодической функции с нулевым средним значением полуволновой симметрии и содержит только нечетные гармоники.
Квадратно-волновая симметрия
Если функция имеет полуволновую симметрию и симметрию относительно середины положительного и отрицательного полупериодов, говорят, что периодическая функция имеет четвертьволновую симметрию. Эта функция показана на рисунке 1.4; говорят, что функция на рис. 1.4 (а) имеет четвертьволновую симметрию относительно середины положительного и отрицательного полупериодов. Функция на рис. 1.4 (б) не имеет этой симметрии, но имеет полуволновую симметрию.
Рисунок 1.4
Функция, которая обладает четвертьволновой симметрией, всегда может быть сделана четной или нечетной, выбирая, где t = 0. Например, периодическая функция на рисунке 1.4 (a) нечетна и может быть превращена в четную функцию, сдвинув по T / 4 объединяет либо влево, либо вправо вдоль оси t. Однако, поскольку периодическая функция на рис. 1.4 (б) обладает только полуволновой симметрией, ее никогда нельзя сделать четной или нечетной.
Если бы периодическая функция была сделана четной, то
$$ a_ {v} = 0, $$ из-за полуволновой симметрии
$$ a_ {k} = 0, $$ для k четных, из-за полуволновой симметрии
$$ a_ {k} = \ frac {8} {T} int_ {0} ^ {T / 4} f (t) cos k \ omega_ {0} tdt, $$ для k нечетных
$$ b_ {k} = 0, $$ для всех k, поскольку периодическая функция четна (1.24)
Вышеуказанные уравнения 1.24 - это результат симметричности периодической функции, в дополнение к которой она является четной. Если четвертьволновая симметрия накладывается на полуволновую симметрию, то можно исключить v и a k для k четных. Взглянув на выражение для k и k нечетное, уравнение 1.19 демонстрирует, что при объединении четвертиволновой симметрии с равномерностью диапазон интегрирования сокращается от 0 до Т / 2 до 0 до Т / 4.
Если четвертьволновая симметричная периодическая функция сделана нечетной, $$ a_ {v} = 0, $$ из-за нечетной функции
$$ a_ {k} = 0, $$ для всех k, из-за нечетной функции
$$ b_ {k} = 0, $$ для k четных, из-за симметрии полуфазы
$$ b_ {k} = \ frac {8} {T} int_ {0} ^ {T / 4} f (t) sin k \ omega_ {0} tdt, $$ для k нечетное (1.25)
Вышеупомянутые уравнения 1, 25 вытекают из-за четвертиволновой симметрии, а также нечетности. Аналогично четности четвертьволновая симметрия позволяет сократить интервал интегрирования от 0 до T / 2 до 0 до T / 4.
Прибытие
На данный момент вы должны лучше понимать коэффициенты Фурье и различные типы симметрии, которые могут произойти. Эти пять типов, даже нечетные, полуволновые, четвертьволновые полуволны четные и четвертьволновые полуволны нечетные, все используются для упрощения вычисления коэффициентов Фурье. Несколько тем, которые будут рассмотрены далее, будут углубляться, чтобы найти устойчивый ответ линейной схемы из рядов Фурье, среднюю расчетную мощность с периодическими функциями, а также среднеквадратичное значение таких периодических функций.