Узнайте о коэффициентах Фурье
Электронные генераторы, которые чрезвычайно полезны при лабораторных испытаниях оборудования, специально разработаны для создания несинусоидальных периодических сигналов. Кроме того, для анализа неэлектрических систем важны несинусоидальные периодические функции. Проблемы, связанные с потоком жидкости, механической вибрацией и тепловым потоком, все используют разные периодические функции. В этой статье будет подробно описан краткий обзор рядов Фурье, вычисляющий тригонометрическую форму коэффициентов Фурье для данной формы волны и упрощение формы волны при условии наличия более одного типа симметрии.
Любой периодический сигнал может быть представлен как сумма синусоидов, где частоты синусоид в сумме состоят из частоты периодического сигнала и целочисленных кратных этой частоты. Использование периодического сигнала, такого как квадратная волна, для проверки коэффициента качества фильтра полосы пропускания полосы или полосы. Для этого выбирается прямоугольная волна, частота которой совпадает с центральной частотой полосового фильтра.
Обзор серии Фурье
Анализ теплового потока в металлическом стержне привел французского математика Жана Батиста Джозефа Фурье к представлению тригонометрической серии периодической функции. Это представление периодической функции является исходной точкой для нахождения стационарного отклика на периодические возбуждения электрических цепей. Было обнаружено, что периодическая функция может быть представлена бесконечной суммой синусоидальных или косинусных функций, которые гармонически связаны. Период любого тригонометрического члена в бесконечном ряду является интегральным кратным или гармоническим периодом периодической функции T. Для визуализации понимания ниже приведены несколько осциллограмм, создаваемых генераторами функций, используемыми в лабораторных испытаниях.
Ряд Фурье показывает, что f (t) можно описать как
$$ f (t) = a_ {v} + \ sum_ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} cos (n \ omega _ {0} t) + b_ {n} sin (n \ omega _ {0} t) $$
(1.1) Представление рядов Фурье периодической функции
Где n - целая последовательность 1, 2, 3, …
В уравнении 1.1, $$ a_ {v} $$, $$ a_ {n} $$ и $$ b_ {n} $$ известны как коэффициенты Фурье и могут быть найдены из f (t). Термин $$ \ omega _ {0} $$ (или $$ \ frac {2 \ pi} {T} $$) представляет собой основную частоту периодической функции f (t). Интегральные кратные $$ \ omega _ {0} $$, т. Е. $$ 2 \ omega _ {0}, 3 \ omega _ {0}, 4 \ omega _ {0} $$ и так далее, известны как гармонических частот f (t). Таким образом, $$ n \ omega _ {0} $$ является n- м гармоническим членом функции f (t).
Прежде чем обсуждать коэффициенты Фурье, необходимо уточнить условия в ряду Фурье. Для периодической функции f (t), которая является сходящимся рядом Фурье, должны выполняться следующие условия:
- f (t) однозначна,
- f (t) имеют конечное число разрывов в периодическом интервале,
- f (t) имеют конечное число максимумов и минимумов в периодическом интервале,
- существует интеграл $$ \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} mid f (t) mid dt $$,
Эти 4 условия известны как условия Дирихле и являются достаточным условием, а не необходимыми условиями. Таким образом, если f (t) удовлетворяет этим требованиям, его можно выразить как ряд Фурье. Тем не менее, если f (t) не отвечает этим требованиям, оно все же может быть выражено как ряд Фурье; необходимые условия на f (t) неизвестны.
Коэффициенты Фурье
Определив периодическую функцию за период, из соотношений определяются следующие коэффициенты Фурье:
$$ a_ {v} = \ frac {1} {T} int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} f (t) dt, $$ (1.2)
$$ a_ {k} = \ frac {2} {T} int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} f (t) cos (k \ omega _ {0} t) dt, $$ (1.3)
$$ b_ {k} = \ frac {2} {T} int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} f (t) sin (k \ omega _ {0} t) dt, $$ (1.4)
В уравнениях 1.3 и 1.4, индекс k указал k- й коэффициент в целочисленной последовательности 1, 2, 3, … Отмечая, что $$ a_ {v} $$ - среднее значение f (t), $$ a_ {k } $$ в два раза больше среднего значения $$ f (t) cos (k \ omega _ {0} t) $$, а $$ b_ {k} $$ в два раза больше среднего значения $$ f (t) sin (k \ omega _ {0} t) $$.
Чтобы получить лучшее представление о том, как из формулы 1.2-1.4 пришли из уравнения 1.1, простые дифференцирования могут быть использованы через интегральные отношения, которые сохраняются, когда m и n являются целыми числами:
$$ \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} sin (m \ omega _ {0} t) dt = 0 $$ для всех m, (1.6)
$$ \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} cos (m \ omega _ {0} t) dt = 0 $$ для всех m, (1.7)
$$ \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} cos (m \ omega _ {0} t) sin (n \ omega _ {0} t) dt = 0 $$ для всех m и n, (1.8)
$$ \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} sin (m \ omega _ {0} t) sin (n \ omega _ {0} t) dt = 0 $$ для всех $$ m \ neq n $$
$$ = \ frac {T} {2}, $$ для всех m = n (1.9)
$$ \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} cos (m \ omega _ {0} t) cos (n \ omega _ {0} t) dt = 0 $$ для всех $$ m \ neq n $$
$$ = \ frac {T} {2}, $$ для всех m = n (1.10)
Чтобы получить Eq 1.3, обе стороны Eq 1.2 необходимо интегрировать за один период:
$$ \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} f (t) dt = \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} left (a_ {v} + \ sum_ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} cos (n \ omega _ {0} t) + b_ {n} sin (n \ omega _ {0} t) right) dt $ $
$$ \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} a_ {v} dt + \ sum_ {n = 1} ^ { infty} (a_ {n} cos (n \ omega _ { 0} t) + b_ {n} sin (a_ {n} cos (n \ omega _ {0} t)) dt $$
$$ = a_ {v} T + 0 $$ (1.11)
Чтобы получить выражение для k- го значения $$ a_ {n} $$, Eq 1.2 нужно умножить на $$ \ cos (k \ omega _ {0} t) $$, и тогда обе стороны должны быть интегрированы за один период f (t):
$$ \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} f (t) cos (k \ omega _ {0} t) dt = \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0 } + T} a_ {v} cos (k \ omega _ {0} t) dt $$
$$ + \ sum _ { infty} ^ {n = 1} int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} (a_ {n} cos (n \ omega _ {0} t) cos (k \ omega _ {0} t) + b_ {n} sin (n \ omega _ {0} t) sin (k \ omega _ {0} t)) dt $$
$$ = 0 + a_ {k} left ( frac {T} {2} right) + 0 $$ (1.12)
Наконец, выражение для k- го значения $$ b_ {n} $$ путем умножения обеих сторон уравнения 1.2 через $$ \ sin (k \ omega _ {0} t) $$, а затем интегрируя каждую сторону за один период f (t). В следующем примере объясняется, как использовать уравнения. 1.3 - 1.5 для вычисления коэффициентов Фурье для определенной периодической функции.
Поиск ряда Фурье треугольной формы волны без симметрии:
В этом примере вам предлагается найти ряд Фурье для данного периодического напряжения, показанного ниже
При использовании уравнений 1.3 - 1.5 для решения $$ a_ {v} $$, $$ a_ {k} $$ и $$ b_ {k} $$, можно выбрать значение $$ t_ {0} $$ любое значение. Для этого конкретного периодического напряжения наилучшее значение равно нулю. Если значение, отличное от нуля, интеграция станет затруднительной. Выражение для v (t) между 0 и T:
$$ v_ {t} = \ left ( frac {V_ {m}} {T} right) t $$
Уравнение для $$ a_ {v} $$:
$$ a_ {v} = \ frac {1} {T} int_ {0} ^ {T} left ( frac {V_ {m}} {T} right) tdt = \ frac {1} {2 } V_ {т} $$
Значение, указанное выше, представляет собой среднее значение формы волны, показанной выше. Уравнение для k-го значения $$ a_ {n} $$:
$$ a_ {k} = \ frac {2} {T} int_ {0} ^ {T} left ( frac {V_ {m}} {T} right) t \ cos (k \ omega _ { 0} т) дт $$
$$ = \ frac {2V_ {m}} {T ^ {2}} left ( frac {1} {k ^ {2} w_ {0} ^ {2}} cos (k \ omega _ {0 } t) + \ frac {t} {k \ omega _ {0}} sin (k \ omega _ {0} t) right) $$ Оценивается от 0 до T.
$$ = \ frac {2V_ {m}} {T ^ {2}} left ( frac {1} {k ^ {2} omega _ {0} ^ {2}} ( cos (2 \ pi k - 1) right) = 0 $$ для всех k
Уравнение для k-го значения $$ b_ {n} $$:
$$ b_ {k} = \ frac {2} {T} int_ {0} ^ {T} left ( frac {V_ {m}} {T} right) t \ sin (k \ omega _ { 0} т) дт $$
$$ = \ frac {2V_ {m}} {T ^ {2}} left ( frac {1} {k ^ {2} omega ^ {2}} sin (k \ omega _ {0} t) - \ frac {t} {k \ omega _ {0}} cos (k \ omega _ {0} t) right) $$ Оценивается от 0 до T.
$$ = \ frac {2V_ {m}} {T ^ {2}} left (0 - \ frac {T} {k \ omega _ {0}} cos (2 \ pi k) right) $$
$$ = \ frac {-V_ {m}} { pi k} $$
Наконец, ряд Фурье для v (t) равен:
$$ v (t) = \ frac {V_ {m}} {2} - \ frac {V_ {m}} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {n } sin (n \ omega _ {0} t) $$
$$ v (t) = \ frac {V_ {m}} {2} - \ frac {V_ {m}} { pi} sin ( omega _ {0} t) - \ frac {V_ {m} } {2 \ pi} sin (2 \ omega _ {0} t - \ frac {V_ {m}} {3 \ pi} sin (3 \ omega _ {0} t) - … $$
Прибытие
На этом этапе вам нужно понять, что такое ряд Фурье, каковы коэффициенты Фурье, а также вычисления для нахождения тригонометрической формы коэффициентов Фурье для периодической формы волны. В будущих статьях будет подробно описываться средняя мощность с периодическими функциями, а также анализ реакции схемы на форму волны с использованием коэффициентов Фурье, о которых говорилось в этой статье. Еще одна тема, которая будет рассмотрена, - это четыре типа симметрии, которые могут быть использованы для упрощения оценки коэффициентов Фурье, а также эффекта симметрии на коэффициенты Фурье.