Узловой анализ и зависимые источники
Использование зависимых источников при использовании Nodal Analysis.
Рекомендуемый уровень
начинающий
Нодальный анализ
Анализ узлов - это форма анализа, в которой используются действующие законы Кирхгофа (KCL) и узловые уравнения для решения для значений напряжения в цепи, где схематическая диаграмма не имеет пересекающихся путей. Говорят, что термин, обычно используемый для этой цели, представляет собой планарную схему.
Это используется для определения напряжения в каждом узле (или подключения точки двух или более компонентов) относительно опорного узла. Контрольный узел часто называют землей, где напряжение на земле равно нулю вольт.
При просмотре схемных диаграмм с источниками напряжения или источниками тока опорный узел обычно назначается отрицательной клемме для источника напряжения и на противоположный конец, когда стрелка показана для источника тока. Другой способ выбора опорного узла будет выбирать средний узел при просмотре всех узлов.
Существует два вида электрических источников: 1) независимый и 2) зависимый.
Независимый источник обеспечивает фиксированное значение напряжения или тока подключенной цепи. Независимыми источниками являются источники питания и батареи. Источники питания обеспечивают постоянное фиксированное значение, тогда как батареи не будут обеспечивать постоянное фиксированное значение с течением времени, не перезаряжая их.
Зависимым источником является либо источник напряжения, либо источник тока, значение которого зависит от значения напряжения или тока в другом месте цепи. Зависимые источники - полезные инструменты для анализа усилителей. Две характеристики усилителей - усиление напряжения (A V) и коэффициент усиления тока (Ai). Существует четыре основных линейно зависимых источника:
1. Источник напряжения с контролируемым напряжением, где выход V, а A V - постоянная пропорциональности (усиление напряжения), а V CD - измеряемый параметр. Следующее уравнение связано с источником напряжения с контролируемым напряжением:
$$ V = A_ {V} V_ {CD} $$
2. Источник напряжения с контролируемым током, где выход V, а R M - константа пропорциональности (сопротивления), а I C - измеряемый параметр. Следующее уравнение связано с источником тока с контролируемым напряжением:
$$ V = R_ {M} I_ {C} $$
3. Ток с токовым током, где выход I, а Ai - постоянная пропорциональности (коэффициент усиления тока), а I C - измеряемый параметр. Следующее уравнение связано с источником тока с контролируемым током:
$$ I = A_ {I} I_ {C} $$
4. Источник тока с контролируемым напряжением, где выход I, а GM - постоянная пропорциональности (проводимость), а VCD - это измеряемый параметр. Следующее уравнение связано с источником тока с контролируемым напряжением:
$$ I = (G_ {M}) (V_ {CD}) $$
Узловой анализ с зависимым источником происходит, когда есть два источника напряжения постоянного тока и источник постоянного тока, как показано на рисунке 1. Обратите внимание, что значение для E1 выражается в терминах неизвестного значения. E1 = 2Vx. Обратите внимание, что напряжение на резисторе R1 выражается как Vx. Обратите внимание, что напряжение на резисторе R3 выражается как V0. Эта информация должна использоваться позже при расчете напряжений в узлах.
рисунок 1
Если напряжение узла или испытательной точки было положительным, оно будет читать положительное значение на вольтметре. Если напряжение узла или испытательной точки отрицательное, оно будет читать отрицательное значение на вольтметре.
Примерной проблемой для схемы, показанной на рисунке 1, было бы найти следующее:
A. Напряжение на резисторе R3 (V0).
B. Токовый резистор R1 (IR1), R2 (IR2), R3 (IR3) и R4 (IR4).
C. Пусть I1 = 2 mAmps, I2 = 2 mAmps, E1 = 2Vx, E2 = 4 вольта, R1 = 1 Kilo Ohms, R2 = 2 kilo Ohms, R3 = 3 килограмма Ом и R4 = 4 килограмма Ом.
D. Пусть напряжение на R1 (ER1) = Vx и E1 = V1 - V2.
Первый шаг должен был бы определить опорный узел или основание, а затем все узлы схемы на рисунке 1. Как правило, любой независимый источник должен быть подключен к земле, и показан на фиг.1.
В этой схеме есть узлы в верхней части источника постоянного напряжения E1 с маркировкой V1, ниже E1 с маркировкой V2, ниже резистора R3 с маркировкой V3 и выше источника DC E2 с маркировкой V4. Эти узлы показаны на рисунке 2.
Рисунок 2
Второй шаг будет состоять в том, чтобы идентифицировать суперузел, у которого есть зависимый источник с неизвестным значением E1, равным 2Vx. Нарисуйте красную линию вокруг V1 и V2 с E1 внутри, как показано на рисунке 3.
Рисунок 3
Третий шаг - определить независимый источник, который является источником напряжения E2, и источниками тока I1 и I2. Нарисуйте синюю линию вокруг V4 и E2, I1 и I2, как показано на рисунке 4.
Рисунок 4
Четвертый шаг - идентифицировать токи в суперузле с синей линией и стрелкой с метками a, b, c, d и e, как показано на рисунке 5.
Рисунок 5
Пятый шаг - идентифицировать токи в узле V3 с красной линией и стрелкой с метками f, g и h, как показано на рисунке 6.
Рисунок 6
На следующем шаге будет использоваться Рисунок 5, который идентифицирует суперузел, поэтому можно идентифицировать уравнения Кирхгофа по текущему закону (KCL). Помните, что действующий закон Кирхгофа (KCL) утверждает, что алгебраическая сумма всех токов, входящих и выходящих из узла, должна быть равна нулю.
Следующие синтаксические уравнения KCL могут быть записаны для синих линий и стрелок на суперузле для a, b, c, d и e:
$$ -I_ {1} + I_ {b} + I_ {c} + I_ {d} + I_ {e} = 0 $$
Обратите внимание, что:
$$ I_ {b} = \ frac {V_ {2}} {R_ {1}}, I_ {c} = \ frac {V_ {2} -V_ {3}} {R_ {2}}, I_ {d } = \ frac {V_ {1} -V_ {3}} {R_ {3}}, I_ {e} = \ frac {V_ {1} -E_ {2}} {R_ {4}} $$
Уравнение теперь становится следующим:
$$ -I_ {1} + \ frac {V_ {2}} {R_ {1}} + \ frac {V_ {2} -V_ {3}} {R_ {2}} + \ frac {V_ {1} -V_ {3}} {R_ {3}} + \ frac {V_ {1} -E_ {2}} {R_ {4}} = 0 $$
Замените значения схемы:
$$ - ( text {2 m}) + \ frac {V_ {2}} { text {1 k}} + \ frac {V_ {2} -V_ {3}} { text {2 k}} + \ frac {V_ {1} -V_ {3}} { text {3 k}} + \ frac {V_ {1} -E_ {2}} { text {4 k}} = 0 $$
Умножьте обе стороны на 12 k (наименьший общий знаменатель):
$$ (- ( text {2 m}) + \ frac {V_ {2}} { text {1 k}} + \ frac {V_ {2} -V_ {3}} { text {2 k} } + \ frac {V_ {1} -V_ {3}} { text {3 k}} + \ frac {V_ {1} -E_ {2}} { text {4 k}} = 0) ( текст {12 k}) $$
Expand:
$$ - 24 + 12V_ {2} + 6 (V_ {2} - V_ {3}) + 4 (V_ {1} - V_ {3}) + 3 (V_ {1} - 4) = 0 $$
$$ - 24 + 12V_ {2} + 6V_ {2} - 6V_ {3} + 4V_ {1} - 4 V_ {3} + 3V_ {1} - 12 = 0 $$
Объединяйте термины:
$$ 7V_ {1} + 18V_ {2} - 10V_ {3} = 36 $$ (Уравнение 1)
Следующий шаг будет использовать рис. 6, который показывает токи в узле V3, поэтому уравнения могут быть записаны для красных линий и стрелок для f, g и h. Обратите внимание, что направления токов через резистор R2 и R3 являются противоположностями при просмотре синих и красных линий и стрелок для c и g, а также для d и h. Это будет важно позже при проверке результатов.
$$ -I_ {2} + \ frac {V_ {3} - V_ {2}} {R_ {2}} + \ frac {V_ {3} -V_ {1}} {R_ {3}} = 0 $ $
Замените значения схемы:
$$ - ( text {2 m}) + \ frac {V_ {3} - V_ {2}} { text {2 k}} + \ frac {V_ {3} -V_ {1}} { text {3 k}} = 0 $$
Умножьте обе стороны на 6 k (наименьший общий знаменатель):
$$ (- ( text {2 m}) + \ frac {V_ {3} - V_ {2}} { text {2 k}} + \ frac {V_ {3} -V_ {1}} { text {3 k}} = 0) ( text {6 k}) $$
Expand:
$$ - 12 + 3 (V_ {3} - V_ {2}) + 2 (V_ {3} - V_ {1}) = 0 $$
$$ - 12 + 3V_ {3} - 3V_ {2} + 2V_ {3} - 2V_ {1} = 0 $$
Объединяйте термины:
$$ - 2V_ {1} - 3V_ {2} + 5V_ {3} = 12 $$ (уравнение 2)
Есть два уравнения и три неизвестных. Требуется другое уравнение. При рассмотрении фиг.5 приведенная информация о источнике E1 постоянного напряжения и узлах V2 и напряжении на резисторе R1, который является Vx, может быть получено другое уравнение.
Рисунок 5
Известна следующая информация:
$$ E_ {1} = V_ {1} - V_ {2} $$
$$ E_ {1} = 2V_ {X} $$
$$ V_ {1} - V_ {2} = 2V_ {X} $$ (уравнение A)
$$ V_ {2} = V_ {X} $$ (уравнение B)
Используя уравнение B с V2 = Vx в уравнении A, можно получить другое уравнение для V1:
$$ V_ {1} - V_ {2} = 2V_ {X} $$
$$ V_ {1} - V_ {X} = 2V_ {X} $$
Решите для V1:
$$ V_ {1} = 2V_ {X} + V_ {X} $$
$$ V_ {1} = 3V_ {X} $$ (уравнение 3)
Теперь уравнение 1 и уравнение 2 должны иметь члены V1 и V2 через Vx и V3 с использованием уравнения A и уравнения B:
Вызвать Уравнение 1: $$ 7V_ {1} + 18V_ {2} - 10V_ {3} = 36 $$
$$ 7 (3V_ {X}) + 18 (V_ {X}) - 10V_ {3} = 36 $$
$$ 21V_ {X} + 18V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$
$$ 39V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$ (Уравнение C)
Вызвать Уравнение 2: $$ - 2V_ {1} - 3V_ {2} + 5V_ {3} = 12 $$
$$ - 2 (3V_ {X}) - 3 (V_ {X}) + 5V_ {3} = 12 $$
$$ - 6V_ {X} - 3V_ {X} + 5V_ {3} = 12 $$
$$ - 9V_ {X} + 5V_ {3} = 12 $$ (уравнение D)
Теперь есть два уравнения и два неизвестных, которые могут быть решены.
$$ 39V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$ (Уравнение C)
$$ - 9V_ {X} + 5V_ {3} = 12 $$ (уравнение D)
Когда 2 умножается на обе стороны уравнения D, два уравнения могут быть добавлены вместе, заставляя условия V3 отменять, оставляя одно уравнение с одним неизвестным.
Умножьте обе части уравнения D на 2:
$$ (- 9V_ {X} + 5V_ {3} = 12) (2) $$
Expand:
$$ - 18V_ {X} + 10V_ {3} = 24 $$ (уравнение D)
Добавить новое уравнение D в уравнение C:
$$ 39V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$ (Уравнение C)
$$ - 18V_ {X} + 10V_ {3} = 24 $$ (уравнение D)
$$ 21V_ {X} = 60 $$
Решите для Vx:
$$ \ underline {V_ {X} = 2.86 \ text {v}} $$
Напомним: $$ V_ {2} = V_ {X} $$, Substitute $$ V_ {X} = 2.86 \ text {volts} $$
$$ \ underline {V_ {2} = 2.86 \ text {v}} $$
Напомним: $$ V_ {1} = 3V_ {X} $$, Substitute $$ V_ {X} = 2.86 \ text {volts} $$
$$ V_ {1} = 3 (2.86 \ text {v}) $$
$$ \ underline {V_ {1} = 8.58 \ text {v}} $$
Когда используются Уравнение 1 и рассчитанные значения для V1 и для V2, можно вычислить V3:
Напомним: $$ 7V_ {1} + 18V_ {2} - 10V_ {3} = 36 $$
Замените значения для V1 и для V2:
$$ 7 (8.58) + 18 (2.86) - 10V_ {3} = 36 $$
Expand:
$$ 60.06 + 51.48 - 10V_ {3} = 36 $$
Объединяйте термины:
$$ 111.54 - 10V_ {3} = 36 $$
Решите для V3:
$$ - 10V_ {3} = -111.54 + 36 $$
Разделите обе стороны на -10:
$$ \ underline {V_ {3} = 7.55 \ text {v}} $$
Значение V0 можно рассчитать, используя Рисунок 5:
Напомним: $$ V_ {0} = V_ {1} - V_ {3} $$
Замените значения для V1 и для V3:
$$ V_ {0} = 8.58 \ text {v} - 7.55 \ text {v} $$
$$ \ underline {V_ {0} = 1.03 \ text {v}} $$
Теперь, когда известны все напряжения в узлах, могут быть рассчитаны токи для резисторов R1 (IR1), R2 (IR2), R3 (IR3) и R4 (IR4).
Напомним: $$ I_ {R_ {1}} = \ frac {V_ {2}} {R_ {1}} $$
$$ I_ {R_ {1}} = \ frac {2.86 \ text {v}} { text {1 k} Omega} $$
$$ \ underline {I_ {R_ {1}} = 2.86 \ text {mA}} $$
Напомним: $$ I_ {R_ {2}} = \ frac {V_ {2} - V_ {3}} {R_ {2}} $$
$$ I_ {R_ {2}} = \ frac {2.86 \ text {v} - 7.55 \ text {v}} { text {2 k} Omega} $$
$$ \ underline {I_ {R_ {2}} = -4.69 \ text {v}} $$
$$ \ underline {I_ {R_ {2}} = -2.35 \ text {mA}} $$
Напомним: $$ I_ {R_ {3}} = \ frac {V_ {1} - V_ {3}} {R_ {3}} $$
$$ I_ {R_ {3}} = \ frac {8.58 \ text {v} - 7.55 \ text {v}} { text {3 k} Omega} $$
$$ I_ {R_ {3}} = \ frac {1.03 \ text {v}} { text {3 k} Omega} $$
$$ \ underline {I_ {R_ {3}} = 0.34 \ text {mA}} $$
Напомним: $$ I_ {R_ {4}} = \ frac {V_ {1} - V_ {4}} {R_ {4}} $$
$$ I_ {R_ {4}} = \ frac {8.58 \ text {v} - 4 \ text {v}} { text {4 k} Omega} $$
$$ I_ {R_ {4}} = \ frac {4.58 \ text {v}} { text {4 k} Omega} $$
$$ \ underline {I_ {R_ {4}} = 1.15 \ text {mA}} $$
Чтобы подтвердить текущие расчеты KCL, рассмотрите те, которые связаны с суперузел:
$$ - I_ {1} + I_ {R_ {1}} + I_ {R_ {2}} + I_ {R_ {3}} + I_ {R_ {4}} = 0 $$
Замените значения схемы:
$$ (- 2 \ text {mA}) + 2.86 \ text {mA} - 2.35 \ text {mA} + 0.34 \ text {mA} + 1.15 \ text {mA} = 0 $$
Объединяйте термины:
$$ 4.35 \ text {mA} - 4.35 \ text {mA} = 0 $$
Для подтверждения текущих вычислений KCL на узле V3:
$$ - I_ {2} + I_ {R_ {2}} + I_ {R_ {3}} = 0 $$
Примечание. IR2 и IR3 являются противоположными знаками из расчетов суперузла
$$ (- 2 \ text {mA}) + 2.35 \ text {mA} - 0.34 \ text {mA} = 0 $$
Объединяйте термины:
$$ (- 2.34 \ text {mA}) + 2.35 \ text {mA} approx 0 $$
Источник тока с контролируемым напряжением - это то, где выходной ток (IS) является линейной функцией подключенного компонента, который имеет указанное напряжение (VX) в следующем соотношении:
IS = (A) (IX) Где A - множитель и IX необходимо определить.
Следующая диаграмма VCCS показана на рисунке 1.
Рисунок 1. Источник тока, контролируемый напряжением
Рассмотрим следующую схему, которая состоит из зависимого источника напряжения I2, имеющего значение (-2mA) (VR1), соединительной линии связи с резистором R1, который имеет значение 1K Ом с падением напряжения VR1, независимым источником V1 напряжения, имеющим значение 4 В и независимый источник тока I1, имеющий значение 1 мАч, как показано на рисунке 2.
Фигура 2.
Прежде чем использовать действующий закон Кирхгофа (KCL) в узле B, напряжение в узле A можно определить, используя значение независимого источника напряжения V1 4 вольт:
$$ V_ {A} = V_ {1} = 4 \ text {volts} $$
Чтобы определить KCL в узле A, необходимо определить токи. Текущий IA является положительным, поскольку он входит в узел, тогда как текущие IB и IC отрицательны, поскольку они покидают узел, как показано на рисунке 3.
Рисунок 3.
Алгебраическая сумма всех токов в узле VA равна нулю:
$$ I_ {A} - I_ {B} - I_ {C} = 0 $$
Обратите внимание, что:
$$ I_ {B} = \ frac {V_ {B} - V_ {A}} {R_ {1}} $$
$$ I_ {C} = I_ {1} $$
Так что:
$$ I_ {A} - \ frac {V_ {B} - V_ {A}} {R_ {1}} - I_ {1} = 0 $$
Замените значения схемы:
$$ I_ {A} - \ frac {V_ {B} - 4} {1 \ text {k} Omega} - 1 \ text {mA} = 0 $$
Умножьте обе стороны на 1k:
$$ (I_ {A} - \ frac {(V_ {B} - 4)} {1 \ text {k} Omega} - 1 \ text {mA} = 0) (1 \ text {k}) $$
Expand:
$$ (1 \ text {k}) I_ {A} - (V_ {B} - 4) - 1 = 0 $$
$$ (1 \ text {k}) I_ {A} - V_ {B} + 4 - 1 = 0 $$
Объединяйте термины:
$$ (1 \ text {k}) I_ {A} - V_ {B} + 3 = 0 $$
Неизвестные слева, известные справа
$$ (1 \ text {k}) I_ {A} - V_ {B} = -3 $$ (уравнение 1)
Чтобы определить KCL в узле B, необходимо определить токи. Текущие IA, IB и IC являются положительными, поскольку они входят в узел, тогда как текущий IE отрицателен, поскольку он покидает узел, как показано на рисунке 4.
Рисунок 4.
Алгебраическая сумма всех токов в узле VB равна нулю:
$$ I_ {B} + I_ {C} + I_ {D} - I_ {E} = 0 $$
Обратите внимание, что:
$$ I_ {B} = \ frac {V_ {A} -V_ {B}} {R_ {1}} $$
$$ I_ {C} = I_ {1} $$
$$ I_ {D} = I_ {2} $$
$$ I_ {E} = \ frac {V_ {B}} {R_ {2}}
Так что:
$$ \ frac {V_ {A} - V_ {B}} {R_ {1}} + I_ {1} + I_ {2} - \ frac {V_ {B}} {R_ {2}} = 0 $$
Замените значения схемы:
$$ \ frac {4 - V_ {B}} {1 \ text {k} Omega} + 1 \ text {mA} - (2 \ text {m}) V_ {R_ {1}} - \ frac {V_ {B}} {2 \ text {k} Omega} = 0 $$
Умножить обе стороны на 2 k:
$$ ( frac {4 - V_ {B}} {1 \ text {k} Omega} + 1 \ text {mA} - (2 \ text {m}) V_ {R_ {1}} - \ frac { V_ {B}} {2 \ text {k} Omega} = 0) (2 \ text {k}) $$
Expand:
$$ 2 (4 - V_ {B}) + 2 - 4V_ {R_ {1}} - V_ {B} = 0 $$
$$ 8 - 2V_ {B} + 2 - 4V_ {R_ {1}} - V_ {B} = 0 $$
Объединяйте термины:
$$ - 3V_ {B} - 4V_ {R_ {1}} + 10 = 0 $$
Неизвестные слева, известные справа
$$ - 3V_ {B} - 4V_ {R_ {1}} = -10 $$ (уравнение 2)
Используйте Закон Ома, чтобы найти ER4:
$$ E_ {R_ {4}} = I_ {1} R_ {4} $$
Замените значения схемы:
$$ E_ {R_ {4}} = (1 \ text {mA}) (3 \ text {k} Omega) $$
$$ \ underline {E_ {R_ {4}} = 3 \ text {v}} $$
Заметим, что R4 параллельна R1. Это делает ER4 равным VR1.
$$ \ underline {V_ {R_ {1}} = 3 \ text {v}} $$
Используйте Закон Ома, чтобы найти IB:
(I_ {B} = \ frac {V_ {R1}} {R_ {1}} )
Замените значения схемы:
$$ I_ {B} = \ frac {3 \ text {v}} {1 \ text {k} Omega} $$
$$ \ underline {I_ {B} = 3 \ text {mA}} $$
Вызов токов в узле A:
$$ I_ {A} - I_ {B} - I_ {C} = 0 $$
Решите для IA:
$$ I_ {A} = I_ {B} + I_ {C} $$
Замените значения схемы:
$$ I_ {A} = (3 \ text {mA}) + (1 \ text {mA}) $$
$$ \ underline {I_ {A} = 4 \ text {mA}} $$
Обратите внимание, что текущий идентификатор является текущим I2:
$$ I_ {D} = (-2 \ text {m}) (V_ {R_ {1}}) $$
Замените значения схемы:
$$ I_ {D} = (-2 \ text {m}) (3 \ text {v}) $$
$$ \ underline {I_ {D} = - 6 \ text {mA}} $$
Вызов токов в узле B:
$$ I_ {B} + I_ {C} + I_ {D} - I_ {E} = 0 $$
Решите для IE:
$$ I_ {E} = I_ {B} + I_ {C} + I_ {D} $$
Замените значения схемы:
$$ I_ {E} = (3 \ text {mA}) + (1 \ text {mA}) + (-6 \ text {mA}) $$
$$ \ underline {I_ {E} = - 2 \ text {mA}} $$
Обратите внимание, что VR1 можно определить из узла A и узла B:
$$ V_ {R_ {1}} = V_ {A} -V_ {B} $$
Решите для VB:
$$ V_ {B} = V_ {A} - V_ {R_ {1}} $$
Замените значения схемы:
$$ V_ {B} = (4 \ text {v}) - (3 \ text {v}) $$
$$ \ underline {V_ {B} = 1 { text {v}}} $$
Используйте уравнение, связанное с зависимым источником тока, чтобы найти ток I2:
$$ I_ {2} = (-2 \ text {m}) (V_ {R_ {1}}) $$
Замените значения схемы:
$$ I_ {2} = (-2 \ text {m}) (3 \ text {v}) $$
$$ \ underline {I_ {2} = - 6 \ text {mA}} $$
Используйте Закон Ома, чтобы найти напряжение на резисторе R3:
$$ E_ {R_ {3}} = (I_ {2}) (R_ {3}) $$
Замените значения схемы:
$$ E_ {R_ {3}} = (-6 \ text {mA}) (4 \ text {k} Omega) $$
$$ \ underline {E_ {R_ {3}} = - 24 \ text {v}} $$
Для подтверждения петли KVL с независимым источником напряжения V1 и резисторами R1 и R2 получается следующее уравнение:
$$ V_ {1} = E_ {R_ {1}} + E_ {R_ {2}} $$
Значения замещающей цепи и примечание ER2 равно VB
$$ (4 \ text {v}) = (3 \ text {v}) + (1 \ text {v}) $$
Узловой анализ с зависимыми источниками использовал действующий закон Кирхгофа с алгеброй и законом Ома, чтобы заменить неизвестное напряжение для узла и найти другие значения схемы. Потратив время на тщательную маркировку узлов, определив правильные напряжения и полярности узлов, решение проблем упростится и может избежать ошибок.