Уравнения Максвелла в настоящей форме
В 1864 году было найдено 20 уравнений для 20 переменных, теперь мы имеем 4. Посмотрите на уравнения на протяжении многих лет.
Введение
Майкл Фарадей отметил в 1830-х годах, что стрелка компаса двигалась, когда электрический ток протекал через провода вблизи него. С этим наблюдением науки о электричестве и магнетизм начали объединяться. Что-то воздействовало на объекты «на расстоянии», и исследователи искали ответы.
В конце концов, «что-то», затрагивающее объекты, считалось «полем», с силовыми линиями, которые могли воздействовать на объекты по воздуху. Джеймс Клерк Максвелл был одним из первых, кто перевел силы, которые Фарадей впервые заметил в математической форме. Уравнения, укорененные в классической физике, объяснили электромагнитные поля и послужили основой для радио, телевидения и наших сотовых телефонов.
Уравнения сегодня
Сегодня мы обычно думаем о уравнениях Максвелла как о наборе из четырех уравнений с частными производными с использованием векторной нотации. Вы можете видеть их в дифференциальной или интегральной форме, как показано на рисунке 1.
Рисунок 1. Уравнения Максвелла, разработанные Оливером Хевисайдом
Также упоминается Закон Гаусса, Закон Магнетизма Гаусса, Закон Индукции Фарадея и Закон Ампера (с этим последним, имеющим «максвелловскую коррекцию»).
В них используются операторы расхождения (∇ ●) и curl (∇x) векторной нотации; дано в терминах d / dt. Уравнения описывают концепции Фарадея математически, объясняя, как генерируются электрические, магнитные поля, устойчивы и подвержены электрическим зарядам, движущимся током и магнитами.
Тем не менее, в 1864 году, когда Джеймс Клерк Максвелл, профессор Королевского колледжа в Лондоне, представил свою новаторскую теорию Лондонскому королевскому обществу, не было никакого упоминания о Гауссе, векторов не было, и было открыто 20 уравнений.
Новое поле
Статья «Динамическая теория электромагнитного поля» была опубликована в «Философской сделке Лондонского королевского общества» в 1865 году. В нем Максвелл ввел теорию электромагнитного поля, объяснил, почему он считал ее динамичной, учитывая ее материю в движении. Он выдвинул то, что он назвал Общими уравнениями электромагнитного поля. Он также пришел к выводу, что свойства, видимые в свете, делают его формой электромагнитного поля и включают теорию распространения света.
Опираясь на исследования с 1846 по 1864 год, Максвелл привел 21 исследователя, свои ранние попытки объяснить, что происходит, а также эксперименты Комитета Британской ассоциации по стандартам электрического сопротивления в его статье. Он даже упоминает исследования, о которых он узнал, между тем, как он опубликовал эту статью в октябре 1864 года, и временем, которое он представил обществу в декабре того же года. То, что предложил Максвелл, было объединяющей теорией, которая объединила все исследования и эксперименты и могла объяснить, что было видно в различных исследовательских лабораториях того времени.
Исследователи и лаборатории, как они появляются в газете Максвелла 1864 года:
- MW Вебер
- C. Neumann
- Geissler
- Профессор В. Томсон
- фарадей
- М. Вердет
- Г-н Ф. Дженкин
- Гельмгольц
- Кольрауш
- Felici
- Ампер
- Пулье
- Даниэл
- Knoblauch
- M. Faucault
- M. Gaugain
- M. Plateau
- Г-н К. Хокин
- Лейден
- зеленый
- Физо
Хотя два из четырех уравнений Максвелла обычно упоминаются как работа Карла Гаусса, обратите внимание, что в статье Максвелла 1864 года не упоминается Гаусс. Закон Гаусса (теорема о потоке Гаусса) посвящен распределению электрического заряда и электрических полей. Хотя он был сформулирован в 1835 году, Гаусс не публиковал свою работу до 1867 года после публикации статьи Максвелла.
В дополнение к уравнениям Максвелл рассматривал возможность того, что Свет является формой электромагнитной энергии. В результате работы через уравнения Максвелл обнаружил, что скорость электромагнитных волн, приведенная на рисунке 2, оказалась близкой к скорости света. Максвелл признал число и предложил, чтобы свет был формой электромагнитной волны.
$$ v = \ frac {1} { sqrt { mu_ {0} epsilon_ {0}}} $$
Рисунок 2. Скорость электромагнитных волн, заданных в терминах электрического заряда и магнитной проницаемости
В части III «Общие уравнения электромагнитного поля» Максвелл детализирует уравнения, требующие решения для 20 неизвестных, используя 20 уравнений:
3 для электрических токов, 3 для электродвижущей силы, 3 для электрической эластичности, 3 для магнитной силы, 3 для токов общего тока, 3 для электрического сопротивления, 1 для электромагнитного импульса и 1 для магнитной интенсивности.
Для 20 неизвестных используются следующие символы:
Электромагнитный импульс: $$ F $$ $$ G $$ $$ H $$
Магнитная интенсивность: $$ \ alpha $$ $$ \ beta $$ $$ \ gamma $$
Электромоторная сила: $$ P $$ $$ Q $$ $$ R $$
Текущий из-за истинной проводимости: $$ p $$ $$ q $$ $$ r $$
Электрическое смещение: $$ f $$ $$ g $$ $$ h $$
Общий ток: $$ q '$$ $$ q' $$ $$ r '$$
Количество бесплатного электричества: $$ e $$
Электрический потенциал: $$ \ Psi $$
Максвелл установил 20 уравнений в частных производных для решения этих 20 неизвестных.
Помните, что в последний раз вам приходилось решать 3 уравнения для трех неизвестных «Трактат об электричестве и магнетизм». В предисловии Максвелл утверждает, что он представляет собой «Науку электромагнетизма». Он также упомянул Гаусса. Работа читается как сборник «того, что мы знаем сейчас в этот момент времени науки о электричестве и магнетизм». Максвелл включил все известные аспекты исследований. В главе 2 тома 2 он включил еще одно «Общее уравнение электромагнитного поля», а в ст. 618 и 619 он упомянул кватернионы.
Кватернионы являются расширением комплексных чисел вида:
$$ H = a + bi + cj + dk $$;
где $$ a $$, $$ b $$, $$ c $$, $$ d $$ реальные и $$ i2 = j2 = k2 = ijk = -1 $$
Кватернионы были изобретены Уильямом Гамильтоном в 1843 году и могут быть использованы для описания трехмерных вращений. Максвелл переформулировал свои уравнения с помощью кватернионов: кватернионные выражения для электромагнитных величин и кватернионных уравнений электромагнитного поля. Максвелл использовал то, что он называл гамильтоновыми векторами, и получил 11 векторов (33 символа), 4 скаляра и хорошо, как C для проводимости; K для диалектической индуктивной емкости и μ для магнитной индуктивности. Именно так математика была оставлена надолго. Максвелл скончался в 1879 году.
После Максвелла
В 1884 году Оливер Хевисайд изучил Трактат Максвелла. Он понял, что с помощью векторной нотации вместо кватернионов 12 уравнений могут быть заменены на 4, четыре уравнения, приведенные в начале этой статьи. Остальные уравнения, посвященные анализу схем, стали отдельной областью исследования. С векторной записью математика и последствия теории Максвелла наконец поняли. В 1888 году Генрих Герц подтвердил теорию Максвелла. Создавая электромагнитные волны вне диапазона видимого света, радио и телевидение стали осуществимыми.
В 1905 году Эйнштейн упомянул Максвелла и Герца в своей теории специальной теории относительности. Поскольку научный мир был представлен «наблюдателям» и «системам отсчета», скорость света оказывается постоянной. Глядя на скорости, теперь требуются преобразования Галилея, относящиеся к классической ньютоновской физике, где скорости намного меньше скорости света и преобразований Лоренца, уравнений, которые можно использовать с любой скоростью. Скорость электромагнитных волн постоянна. Частоты могут различаться, но распространение электромагнитных волн происходит с одинаковой скоростью.
С квантовой физикой, разработанной в 1920-х годах, фотоны вошли в дискуссию, а квантовая электродинамика заставила уравнения перейти на микроскопический аспект (касающийся токов и зарядов на атомном уровне материалов) и макроскопический аспект (используя альтернативы сложным расчетам на атомном уровне). Исследования продолжаются в направлении достижения единой теории.
Резюме
Хотя мы ссылаемся на уравнения Максвелла как на 4 уравнения в частных производных с использованием векторной нотации, поскольку Максвелл ввел свои уравнения в мир в 1864 году, их форма, содержание и математическое выражение изменились. Уравнения в настоящей форме служат заполнителями для всех представлений, предоставленных Максвелом. Каждое поколение «владеет» уравнениями, сохраняя их как имеющие отношение к возникающим наукам как само электричество, магнетизм и свет.