Томас Стилтьес (1856-1894): Новая интегральная концепция
Будучи молодым студентом, он прогуливал занятия, чтобы просмотреть библиотеку. В результате он провалил несколько экзаменов и не получил диплом.
Если вы будете искать математика Томаса Джоаннеса Стилтьеса в энциклопедии известных людей в Нидерландах, вы неожиданно обнаружите вместо этого упоминания инженера-гидротехника, который создал для этого условия в середине 19-го века со строительством гавани в Фейеноорде, что сегодня Роттердам является одним из крупнейших портов Европы. Он также много лет был членом парламента в качестве депутата-либерала. У него было семеро детей, и одному из трех сыновей он дал точно такое же имя, как у него самого.
Томас Джоаннес Стилтьес-младший начал учиться в Политехнической школе в Делфте в 1873 году, но вместо посещения лекций большую часть времени проводил в библиотеке, особенно читая работы Карла Фридриха Гаусса и Карла Густава Якоба Якоби, чтобы углубить. В 1876 г. опубликован его первый труд; это касается представления функций с помощью других функций. И, несмотря на это необычное для студента достижение, случается, что он не сдает обязательный экзамен - потому что недостаточно знаком с содержанием рассматриваемой лекции. Когда он дважды проваливает это испытание в последующие годы, его отец осознает серьезность ситуации и ищет выход.
Он использует для этого свои многочисленные связи: Хендрикус Герардус ван де Санде Бахуйзен, директор обсерватории в Лейдене, назначает сыну своего друга должность «помощника по астрономическим расчетам». Таким образом, молодой человек может пока зарабатывать себе на жизнь - и он должен, потому что его отец умирает в следующем году.
После двух статей в 1878 и 1880 годах (о свойствах гамма-функции и об особой последовательности средних значений) Стилтьес опубликовал в 1882 году в различных европейских журналах в общей сложности двенадцать статей - на разные темы от дифференциальных и интегральное исчисление, а также теория чисел. В течение своей жизни Гаусс разработал три различных доказательства основной теоремы алгебры («Каждый непостоянный многочлен степени n имеет ровно n нулей в множестве комплексных чисел»). Стилтьес представляет еще один вариант доказательства.
По одной из тем он связывается с Шарлем Эрмитом, который работает в Париже профессором анализа в Политехнической школе и Сорбонне. Этот контакт перерос в оживленную переписку в течение следующих двенадцати лет (до ранней смерти Стилтьеса) - эта переписка насчитывала в общей сложности 432 письма. В последующие годы Hermite снова и снова отправлял текстовые отрывки из писем Стилтьеса в журнал Академии наук для публикации сразу же после получения.
1883 был важным годом в жизни Стилтьеса: воодушевленный своей невестой Элизабет Интвельд, на которой он женился в мае, он попросил ван де Санде Бахуйзена освободить его от задач астрономических наблюдений, чтобы он мог полностью посвятить себя математическим вопросам может посвятить - друг отца удовлетворяет его эту просьбу. В конце года Стилтьес читает лекции по аналитической и начертательной геометрии в Делфтском университете вместо больного лектора.
Положительные отзывы о его преподавательской деятельности повышают уверенность Стилтьеса в своих силах, и он осмеливается сделать следующие шаги: уйти с должности в обсерватории и подать заявку на вакансию профессора анализа в Гронингенском университете. Университет предлагает его в рамках процесса найма, но ответственное министерство назначает не его, а кандидата, занявшего второе место на рекламируемую должность, поскольку у Стилтьеса нет никаких академических квалификаций, на которые можно было бы претендовать.
В мае 1884 года Эрмит посещает празднование 300-летия Эдинбургского университета; он использует возможность указать в разговоре на неудачную ситуацию Стилтьеса. Дэвид Биренс де Хаан, влиятельный профессор математики в Лейденском университете, затем подал заявку в сенат своего университета вместе с ван де Санде Бахуйзеном на присуждение Стилтьесу звания почетного доктора за его заслуги в области математики и астрономии. Сенат одобряет заявку: сертификат должен быть вручен Стилтьесу на публичном мероприятии. Однако по недоразумению Стилтьес узнал об этой дате только на следующий день после события…
1885 Стилтьес переезжает в Париж со своей молодой семьей. Там он защищает докторскую диссертацию о сходимости специальных рядов в Высшей школе (руководители: Шарль Эрмит и Гастон Дарбу). За это время он опубликовал уже более 50 научных статей.
Чтобы улучшить свои шансы на трудоустройство во Франции, Стилтьес подает заявление на получение французского гражданства. В 1886 году Стилтьес получил должность в Тулузском университете; с 1889 г. он был назначен на кафедру дифференциального и интегрального исчисления.
В последующие годы в специализированных журналах появилось множество статей; его достижения признаны на международном уровне. Королевская академия наук Нидерландов принимает его в члены.
С 1890 года Стилтьес особенно интересовался комплексными функциями, которые могут быть представлены в виде непрерывных дробей: \[f(z)=\frac{1}{a_1 z +\frac{1} {a_2 + \ frac{1}{a_3 z +\frac{1}{a_4+ \dots}}}}.]
Он был награжден "Prix Petit d'Ormoy" Академии наук в 1892/93 году за свои первые публикации на эту тему (позже среди победителей были Жак Адамар и Анри Леон Лебег).
1894 появляется первая часть его исследований, 120 страниц; вторая часть появляется - посмертно - в следующем году.
В контексте этой работы он вводит интеграл, который позже назван в его честь. В то время как с помощью интеграла Римана интервал интегрирования [a, b] подразделяется на a=x 0 < x 1 < … < xn -1=b интеграл Стилтьеса допускает почти любое подразделение, которое может быть описано монотонно возрастающей функцией g (=интегратор), т.е. вместо суммы Римана \( sum_{i=1 }^{n} f(tau_i) cdot (x_i-x_{i-1}) ) со значениями функции \(f(tau_i) ) для \(x_{i-1} leq \ tau_i \leq x_i ) рассматривается сумма Стилтьеса \(sum_{i=1}^n f(tau_i) cdot \left[g(t_i) -g(t_{i-1}) right]) для \(t_{i-1} leq \tau_i \leq t_i.) Если функция интегратора g непрерывно дифференцируема, то применим метод интегрирования по частям и применимо следующее: \[int_a^b f(x) dg(x)=f(b) g(b) - f(а) g (a) - \int_a^b g(x) df(x). ]
Важность обобщения понятия интеграла Стилтьесом впервые была осознана в начале 20 века венгерским математиком Фридьесом Риссом (1880-1956) и применена в функциональном анализе. Дальнейшее обобщение интегральной концепции было сделано Анри Леоном Лебегом в 1902 году.
В конце 1889 года в России вспыхнула эпидемия гриппа (азиатского гриппа), которая снова и снова распространялась по всем европейским странам несколькими волнами в зимние месяцы последующих лет и также нашла смертельные случаи в Северной Америке. из-за интенсивного судоходного сообщения - всего погибло свыше 10 000 млн человек.
В декабре 1894 года Томас Стилтьес также становится жертвой эпидемии; через два дня после его 38-годень рождения он умирает Лишь за несколько дней до смерти он получил известие о том, что Санкт-Петербургская Российская академия наук назначила его членом-корреспондентом.