Введение
Теорема взаимности не появляется во многих последних учебниках, хотя она всегда включалась в более ранние тексты (см. Ссылки) на схемы даже на элементарном уровне. Текст Ирвина является исключением, где представлено хорошее обращение и даже доказательство.
Отсутствие теоремы взаимности еще больше свидетельствует о снижении понимания и его замещении невежественным невежеством в инженерном образовании.
Теорема важна, потому что она не выполняется для всех сетей, и ограничения следует помнить. Использование взаимности там, где оно не применяется, приводит к серьезным ошибочным результатам. В этой статье будет объяснено, что такое теорема взаимности, и дайте примеры, чтобы понять ее смысл. Он также включает неплохой обзор двухпортовых сетей, которые необходимы для правильного объяснения.
В своей простейшей форме теорема взаимности утверждает, что если emf E в одной ветви обратной сети создает ток I в другом, то, если emf E перемещается от первой ко второй ветви, это приведет к тому же току в первая ветвь, где ЭДС была заменена короткой цепью.
Мы увидим, что любая сеть, состоящая из линейных, двусторонних элементов (таких как R, L и C), является обратной.
Схема на рисунке представляет собой конкретный пример взаимности. Читатель должен решить схему и определить значения тока I в двух случаях, которые будут равны (0, 35294 А). Если E отменено, то направление I меняет направление, поэтому направление не имеет значения, пока оба E и I меняются одновременно.
Не-двусторонний элемент, такой как выпрямляющий диод, разрушает взаимность, как показывает схема слева. Здесь очевидно, что I = 0 справа, а I ≠ 0 - слева. Даже если полярность E меняется на обратную, так что диод имеет прямое смещение справа, токи не являются обратными. Слева, я буду 0.21294 A, а справа это будет 0.32824 A, как читатель может показать, решая схемы.
Нелинейный элемент также разрушает взаимность. Схема справа включает резистор, падение напряжения которого пропорционально квадрату тока, V = 10i 2. В схеме слева I = 0, 3798 А, а справа I = 0, 3397 А. Включение контролируемых источников или активных элементов может также разрушать взаимность.
Двухпортовые сети
Рассмотрение взаимности естественно ведет к двухпортовым сетям. Это сети с четырьмя терминалами, которые рассматриваются в двух парах как порты, в которых выполняются соединения. ЭМП E в теореме взаимности считается связанной с одним портом, например, с портом 1, тогда как ток находится в порту 2, который считается короткозамкнутым. Порты приводят к разрыву на две ветви сети. Один терминал каждого порта обозначается символом (+), чтобы указать полярность напряжения, приложенного к порту, и токи положительны, когда они входят в терминал (+).
Основными переменными являются V 1, I 1, V 2 и I 2. Любые две из этих переменных являются функциями остальных двух. Для некоторых сетей некоторые из четырех вариантов недопустимы. В большинстве случаев переменные, появляющиеся в моделях, являются вариациями от условий смещения постоянного тока, а не от переменных постоянного тока.
Один резистор образует два двух порта, в зависимости от того, идет ли он последовательно или шунтируется. Для последовательного резистора нормально принимать зависимые переменные как I 1 и I 2, так и независимые переменные V 1 и V 2. Коэффициенты называются параметрами адмитанса, поскольку входное отношение - это отношение тока к напряжению. Если резистор подключен к шунту, независимыми независимыми переменными являются I 1 и 2, а V 1 и V 2 - зависимые переменные. Коэффициенты в этом случае являются параметрами импеданса, поскольку импеданс - это отношение напряжения к току. В обоих случаях мы видим, что недиагональные или коэффициенты переноса равны.
Рассмотрим модель адмитанса, где коэффициенты не обязательно равны простым для одного резистора. Если на входе подается э.д.с. E = V 1, а выход закорочен, V 2 = 0, мы видим, что I 2 = y 21 E. Если мы применим то же напряжение E к выходу, вход, мы имеем 1 1 = y 12 E. Следовательно, токи равны, а сеть взаимна. Взаимность является результатом равенства пропускных способностей. Аналогичный результат можно получить для модели импеданса, где взаимность имеет место, если z 12 = z 21, как легко может показать читатель. Для нашего простого примера одного резистора эти условия сохраняются.
Заметим, что нет импедансной модели для последовательного резистора и нет модели допуска для шунтирующего резистора. В общем случае можно преобразовать из импеданса в адмитанс и наоборот, но определитель коэффициентов находится в знаменателе формулы преобразования, а для одного резистора этот определитель равен нулю. Если Δ - определитель коэффициентов допуска, то z 11 = y 22 / Δ, z 22 = y 11 / Δ, z 12 = y 21 / Δ и z 21 = y 12 / Δ. Аналогичные формулы справедливы для обратного преобразования. Полный список преобразований приведен в первом справочнике. Вывод состоит в том, что если y 12 = y 21, то z 21 = z 12. Это, конечно, общий результат. Конкретный способ моделирования сети не влияет на свойство взаимности.
Популярной моделью, особенно для активных элементов, является гибридная модель, в которой независимыми переменными являются V 2 и I 1. Уравнения для последовательного резистора V 1 = RI 1 + V 2 и I 2 = -I 1. Гибридные параметры для этого случая: h 11 = R, h 22 = 0, h 12 = -h 21 = 1. Заметим, что в этом случае недиагональные элементы имеют противоположный знак, но с одинаковой величиной. Это знак взаимности в гибридной модели. В качестве упражнения читатель может показать, что для шунтирующего резистора h 11 = 0, h 22 = 1 / R, а коэффициенты переноса такие же, как для последовательного резистора.
Существует четвертая модель, в которой выходные переменные I 1 и V 1 выражаются через входные переменные V 2 и I 2: V 1 = AV 2 - BI 2 и I 1 = CV 2 - DI 2. Обратите внимание на изменение знака I 2, которое является обычным, поэтому оно будет в том же направлении, что и I 1 для преобразования идентичности A = D = 1, B = C = 0. Если сети каскадированы, эти матрицы просто умножаются. В этой модели взаимность выражается AD - CB = 1. Это можно доказать, выразив A, B, C и D в терминах параметров импеданса. A = z 11 / z 21, B = z 11 z 22 / z 21 - z 12, C = 1 / z 21 и D = z 22 / z 21. В результате AD - CB = z 12 / z 21 = 1, если сеть является обратной. Ясно также, что любой каскад взаимных сетей также является взаимным, так как определитель произведения матриц является произведением определителей.
Любая модель может быть выражена в терминах контролируемых источников и импедансов. Это показано справа для гибридной модели. H 11 представлен импедансом h 22 по допуску. h 12 и h 21 - коэффициенты обратной и прямой передачи, которые являются чистыми числами. На выходе появляется источник тока, в то время как на входе появляется источник напряжения. Это модель, часто используемая для представления транзистора, в которой h 21 обычно обозначается h fe или β, базовое значение коэффициента усиления коллектора. Вход между базой и эмиттером, выход между коллектором и эмиттером. Так как h 12 намного меньше h 21, транзистор не является обратным. Хорошая примерная модель получается, если h 11 = h 21 (25Ω / I c), h 12 = h 22 = 0. I c - ток коллектора постоянного тока. Типичное значение h 21 равно 100. Для точной работы гибридные коэффициенты могут быть выражены как функции условий смещения.
Вакуумная трубка может быть представлена моделью допуска, в которой ток пластины I p является совместной функцией напряжения сетки V g и напряжения пластины V p. Входной порт подключен к сетке и катоду, выходной порт к пластине и катоду. Пока сетка смещена отрицательно по отношению к катоду, I g = 0, а два из параметров пропускания равны нулю. Оставшееся уравнение можно записать в виде I p = g m V g + V p / r p, где y 12 = g m - крутизна, а 1 / y 22 = r p - сопротивление пластины. Когда I p поддерживается постоянным, -g m r p V g = V p, который определяет коэффициент усиления μ = g m r p. Та же модель может использоваться для FET. Мы отмечаем, что ни одна из этих моделей не является обратной, что стоит вспомнить. Эти модели чрезвычайно полезны при проектировании схем.
Доказательство теоремы взаимности
Мы хотим показать, что в сети линейных билинейных элементов, т. Е. В одном построенном из обычных импедансов, что если при вводе напряжения V в одну петлю ток I в другом цикле из-за вставки этого напряжения равен то же, что и ток в первом положении из-за вставки напряжения V во втором контуре или что сеть является обратной. Мы сделаем это, явно вычислив токи в двух случаях и заметив, что они равны.
Рассмотрим сеть, состоящую из N независимых циклов, из которых цикл 1 содержит входной порт, а цикл 2 - выходной порт. Пусть в сети не будет emf. Если есть, их можно позаботиться о суперпозиции, и мы можем установить их все в нуль для наших целей. Контурные токи I k, k = 1 - N. Если emf V находится в порту 1, а порт 2 закорочен, то законы Кирхгофа дают Σz 1k I k = V и Σz jk I k = 0, j = 2 to N. Ток I 2 затем может быть выражен через определители как I 2 = -V det A / Δ, где определитель в числителе был расширен минорами второго столбца, который является всеми нулями, за исключением V в первом должность. A - матрица z с удалением первой строки и второго столбца. Δ - определитель матрицы z jk. Запишите это решение в деталях, если это не ясно из этого описания.
Теперь подключите V к порту 2 и короткому порту 1. Решение детерминантами для I 1 будет -V det B / Δ, где B - матрица z с второй строкой и первым столбцом. Если мы сравним матрицы A и B, мы увидим, что они переставляют друг друга, при условии, что z jk = z kj. Однако недиагональные z - это всего лишь взаимные импедансы токовых петель (импедансы, общие для пары петель), и не зависят от порядка индексов. (Здесь они не являются коэффициентами импедансной модели, просто фактическими импедансами.) Поскольку определитель транспонирования матрицы равен определителю матрицы, два решения одинаковы, а I 1 = I 2. Это доказывает теорему взаимности для сетей из линейных, двусторонних элементов, КЭД
Мы доказали теорему взаимности для относительно ограниченного класса сетей, но можно более широко распространить теорему.
Слева видно, что для идеальных трансформаторов выполняется взаимность.
Поскольку реальные трансформаторы могут быть смоделированы сетями, содержащими только импедансы и идеальные трансформаторы, реальные трансформаторы также должны быть взаимными, и это дополнительно расширяет полезность теоремы. Взаимность возникает во многих неожиданных местах, например, в электромагнитных полях и микроволнах.