Специальные случаи в анализе узлов
В данной статье описаны некоторые особые случаи при анализе узлов.
Рекомендуемый уровень
начинающий
Когда мы разрабатываем электронные схемы, всегда важно знать, сколько тока протекает через компонент или сколько напряжения присутствует на определенном узле в цепи в критических точках его работы. Обнаружение любого измерения может быть выполнено с использованием законов цепи Кирхгофа. Два типа анализа, которые позволяют нам находить эти значения, - это анализ сетки и анализ узлов. Если мы хотим найти напряжение в точке (узле), то мы можем применить узловой анализ, используя действующий закон Кирхгофа (KCL).
Каждый конкретный узел в этой схеме (V1, V2 и V3) имеет 3 соединения. KCL объявляет, что сумма всех ветвей от каждого узла равна нулю. Мы можем использовать это, чтобы найти напряжение на каждом узле следующим способом:
Во-первых, у нас есть опорный узел с наименьшим потенциалом, который будет называться землей. Земля в этой цепи выбрана потому, что она является общей точкой с наименьшим напряжением. Затем мы назначаем переменную каждому узлу, где напряжение неизвестно. Это обозначено кружками в V1, V2 и V3. Чтобы, примените KCL, чтобы сформировать уравнение для каждого неизвестного напряжения.
Для узла V1:
Токи Ia и Ib:
$$ Ia $$ = $$ \ frac {V1} {500Ω} $$ и $$ Ib = \ frac {(V1-V2)} {450Ω} $$
Это связано с тем, что напряжение через резистор представляет собой разность потенциалов между двумя его узлами. Поскольку V1 является единственным узлом, напрямую связанным с источником тока 4 А, $$ Ia + Ib = 4 Amps $$.
Объединяя это все вместе:
$$ \ frac {V1} {500Ω} + \ frac {(V1-V2)} {450Ω} = 4 Amps $$.
Это можно переписать как:
$$ V1 ( frac {1} {500Ω} + \ frac {1} {450Ω}) - V2 ( frac {1} {450Ω}) = 4 Amps $$.
Для узла V2:
Ic указывает от V2 на V1, поэтому мы будем писать ветвь резистора 450 Ом как: $$ \ frac {(V2-V1)} {450Ω} $$.
Id просто: $$ \ frac {V2} {1500Ω} $$.
Т.е. поток от V2 до V3 и отмечается как: $$ \ frac {(V2-V3)} {600Ω} $$.
Помните, что KCL требует, чтобы сумма всех трех ветвей была равна нулю. Это означает $$ Ic + Id + Ie = 0 $$.
В качестве одной формулы она объединяется как:
$$ \ frac {(V2-V1)} {450Ω} + \ frac {V2} {1500Ω} + \ frac {(V2-V3)} {600Ω} = 0 $$.
Дружелюбной формой для линейных уравнений было бы:
$$ - V1 ( гидроразрыв {1} {450}) + V2 ( гидроразрыв {1} {450} + \ гидроразрыв {1} {1500} + \ гидроразрыв {1} {600}) - V3 ( гидроразрыв { 1} {600}) = 0 $$.
Узел V3 является той же конструкцией, что и узел V1, только с разными значениями.
Ig: $$ \ frac {V3} {550 Ω} $$.
Если (eye-eff, not iff., Английский насмехается над нами!): $$ \ frac {(V3-V2)} {600 Ω} $$.
Оба резистора подаются из источника 5 А, что делает $$ If + Ig = 5 A $$.
Вместе мы имеем:
$$ \ frac {(V3-V2)} {600 Ω} + \ frac {V3} {550 Ω} = 5 A $$.
При вычислении вычисляется уравнение:
$$ - V2 ( гидроразрыва {1} {600}) + V3 ( гидроразрыва {1} {550} + \ гидроразрыва {1} {600}) = 5 $$.
Четвертый и последний шаг - решить систему уравнений. Существуют калькуляторы, которые могут решать системы линейных уравнений. Matlab и GNU Octave представляют собой программы для ПК, которые могут выполнять эту функцию. С карандашом, бумагой и 20 минутами времени; мы могли бы решить эту «старую школу» с помощью Алгебры. Однако мы могли бы использовать более быстрый и, возможно, более надежный метод, поэтому давайте перейдем к онлайн-варианту www.wolframalpha.com.
Наши три окончательных уравнения можно сгруппировать как:
$$ v1 ( frac {1} {500} + \ frac {1} {450} - v2 ( frac {1} {450}) = 4 $$, $$ - v1 ( frac {1} {450}) + v2 ( frac {1} {450} + \ frac {1} {1500} + \ frac {1} {600}) - v3 ( frac { 1} {600}) = 0 $$, $$ - v2 ( гидроразрыв {1} {600}) + V3 ( гидроразрыв {1} {550} + \ гидроразрыв {1} {600}) = 5 $$.
Хотя это математически правильно, WolframAlpha в основном ответил «huh» «*» для умножения:
$$ v1 * ( frac {1} {500} + \ frac {1} {450} - v2 * ( frac {1} {450}) = 4 $$, $$ - v1 * ( frac {1} {450}) + v2 * ( frac {1} {450} + \ frac {1} {1500} + \ frac {1} {600}) - v3 * ( гидроразрыва {1} {600}) = 0 $$, $$ - v2 * ( frac {1} {600}) + v3 * ( frac {1} {550} + \ frac {1} {600}) = 5 $$.
Решение немного беспорядочно, поскольку
$$ \ underline {v1 = \ frac {3159000} {1697}} $$.
Но нажатие на примерную форму на веб-странице даст:
$$ \ underline {v1 = 1, 861.5} $$, $$ \ underline {v2 = 1, 736.9} $$ и $$ \ underline {v3 = 2, 265.5} $$.
Чтобы проверить это, сравните мощность, протекающую в цепи от обоих источников, к мощности, рассеиваемой резисторами. Узел V1 имеет 1, 861, 5 В с 4 амперами, равным 7 446 Вт. При 2, 265, 5 вольт при 5 А, узел V3 имеет 11 327, 5 Вт. Резисторы производят тепло со следующей скоростью: 450 Ом 34, 5 Вт, 500 Ом 6, 930, 36 Вт, 1500 Ом 2, 011, 21 Вт, 600 Ом 465, 7 Ватт и 550 Ом 9, 331, 8 Вт. Мощность составляет 18 773, 5 Вт. Из-за проблем округления мощность рассеивается 18 773, 57 Вт. Либо мы разработали самую мощную печь с тостерами в мире, либо наш ток должен быть немного меньше для этого примера!
Специальные случаи: источники напряжения и суперноды.
Особым случаем является добавление источников напряжения. Здесь у нас есть источник из 6 вольт и источник из 3 вольт. Источник 3 вольт находится между двумя нереференсными узлами и образует сверхновой.
Поиск ссылочного узла - это тот же процесс, что и в последнем примере.
Теперь все немного изменилось. У узла 6V не требуется KCL, потому что мы уже знаем, что в этом месте схема составляет 6 вольт. Супернод не так плох, как кажется, нам просто нужно добавить уравнение KVL. Сторона V2 3-вольтовой батареи имеет более высокий потенциал напряжения, чем V1, поэтому KVL, который мы будем использовать, составляет $$ V2 - V1 = 3V $$.
KCL для остальной части схемы:
$$ \ frac {(V1-6v)} {5 Ω} + \ frac {V1} {3 Ω} + \ frac {V2} {2 Ω} + \ frac {V2} {8 Ω} = 0 $$.
Возможно, вы заметили, что в этом примере математика не такая грязная. Мы решили разделить на сопротивление, а не умножать на обратное. В любом случае это совершенно верно.
Привет! Как насчет резистора 4 Ом? Никто не хочет быть забытым! Ну, резистор 4 Ом входит в пакетную сделку. Он рассматривается как часть сверхнода и не должен учитываться как отдельное уравнение. Счастливчик!
Мы можем добавить несколько скобок к нашим линейным уравнениям, чтобы сделать вещи более понятными и ввести их на страницу WolframAlpha:
$$ v2-v1 = 3 $$, $$ \ frac {(v1-6)} {5} + \ frac {(v1)} {3} + \ frac {(v2)} {2} + \ frac { (v2)} {8} = 0 $$.
И вот, мы находим: $$ \ underline {V1 = -0.5827} $$ и $$ \ underline {V2 = 2.4173} $$ как наш ответ.
Как это может показаться, узловой анализ является основой для многих программ моделирования схем и является краеугольным камнем для понимания напряжений на пересекающихся точках в цепи.