Синусоидальный стабильный анализ состояния
Синусоидальный источник
Синусоидальный источник напряжения (зависимый или независимый) создает напряжение, которое изменяется во времени как синусоидальная волна. Синусоидальный источник тока (зависимый или независимый) создает ток, который изменяется со временем. Синусоидальная изменяющаяся функция может быть выражена либо синусоидальной функцией, либо косинусной функцией. Либо работает одинаково; обе функциональные формы не могут использоваться одновременно. Используя функцию косинуса в этой статье, синусоидальное переменное напряжение можно записать в виде:
$$ \ textit {v} = V_ {m} cos ( omega \ textit {t} + \ phi) $$ (1.1)
Чтобы помочь обсуждать параметры синусоидального уравнения напряжения, ниже приведен график зависимости напряжения от времени
Заметим, что эта синусоидальная функция выше непрерывно повторяется на регулярном интервале. Такая функция регулярных интервалов называется периодической. Один ключевой параметр - это время, необходимое для того, чтобы синусоидальная функция проходила все возможные значения. Время, необходимое для прохождения всех возможных значений, известно как период функции и обозначается как T. Период синусоидальной функции измеряется в секундах. Взятие обратной величины T дает число циклов в секунду или частоту синусоидальной функции и обозначается f, где
$$ \ mathit {f} = \ frac {1} { mathit {T}} $$ (1.2)
Цикл в секунду называется герцем или сокращенно обозначается как Гц. В синусоидальном уравнении напряжения коэффициент t, содержит значение T или f. Омега ($$ \ omega $$) представляет собой угловую частоту синусоидальной функции, где
$$ \ omega = 2 \ pi \ mathit {f} = \ frac {2 \ pi} { mathit {T}} ( mathrm {radians / second}). $$ (1.3)
Это уравнение угловой частоты основано на том, что функция косинуса (или синуса) проходит через полный набор значений каждый раз, когда его аргумент, $$ \ omega \ textit {t} $$, проходит через $$ 2 \ pi $$ rad $$ (360 ^ {} CIRC) $$. Всякий раз, когда t является интегральным кратным T, аргумент $$ \ omega \ textit {t} $$ увеличивается на интеграл, кратный $$ 2 \ pi $$ rad. Коэффициент $$ V_ {m} $$ дает максимальную амплитуду синусоидального напряжения. Поскольку косинус ограничен $$ \ pm 1 $$, $$ \ pm V_ {m} $$ ограничивает амплитуду. На приведенном выше рисунке показаны эти характеристики.
Угол $$ \ phi $$ в уравнении 1.1 известен как фазовый угол синусоидального напряжения. Этот угол определяет значение синусоидальной функции при t = 0; эрго, он определяет точку на периодической волне, от которой измеряется время. Если изменяется фазовый угол $$ \ phi $$, он сдвигает синусоидальную функцию вдоль оси времени, но не изменяет амплитуду $$ (V_ {m}) $$ или угловую частоту $$ ( omega) $$, Например, уменьшение $$ \ phi $$ до нуля сдвигает синусоидальную функцию напряжения, показанную на рис.1.1, до $$ \ frac { phi} { omega} $$ единиц измерения справа, как показано на рис. 1.1. Если $$ \ phi $$ также положительно, синусоидальная функция напряжения сдвигается влево, тогда как если $$ \ phi $$ отрицательна, функция напряжения сдвигается вправо. Фазовый угол $$ \ omega \ textit {t} $$ и $$ \ phi $$ должен нести одни и те же единицы, поскольку они объединены в аргумент синусоидальной функции. Обычно $$ \ omega \ textit {t} $$ выражается в радианах, но $$ \ phi $$ задается в градусах, а $$ \ omega \ textit {t} $$ преобразуется из радианов в градусы перед двумя количества добавляются. Из тригонометрии преобразование из радианов в градусы дается выражением
$$ \ mathrm {(количество градусов)} = \ frac {180 ^ { circ}} { pi} mathrm {(количество радианов)} $$ (1.4)
Еще одной важной характеристикой синусоидального напряжения (или тока) является его среднеквадратичное значение. Это значение определяется как квадратный корень из среднего значения квадрата. Из уравнения 1.1, среднеквадратичное значение $$ \ textit {v} $$ является
$$ \ sqrt { int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} V_ {m} ^ {2} cos ^ {2} ( omega t + \ phi) dt} $$ (1.5)
Величина под знаком радикала в уравнении 1.5 сводится к $$ \ frac {V_ {m} ^ {2}} {2} $$, давая значение $$ \ textit {v} $$
$$ V_ {rms} = \ frac {V_ {m}} { sqrt {2}} $$ (1.6)
Это значение синусоидального напряжения зависит только от максимальной амплитуды $$ \ textit {v} $$, а именно $$ V_ {m} $$. Кроме того, среднеквадратичное значение не зависит ни от частоты, ни от фазового угла.
Фасор
Фейсор представляет собой комплексное число, несущее информацию о амплитуде и фазовом углу синусоидальной функции. Эта идея фазора основывается на формуле Эйлера:
$$ e ^ {j \ theta} = \ cos ( theta) + j \ sin ( theta) $$ (1.7)
Это уравнение важно, поскольку оно дает другой способ выражения функций косинуса и синуса. Косинусную функцию можно рассматривать как действительную часть экспоненциальной функции, а синусоидальную функцию - как мнимая часть экспоненциальной функции; это дает:
$$ \ cos ( theta) = \ Re \ left {e ^ {j \ theta} right }, $$ (1.8)
$$ \ sin ( theta) = \ Im \ left {e ^ {j \ theta} right }, $$ (1.9)
Где $$ \ Re $$ - «реальная часть», а $$ \ Im $$ - «мнимая часть». Используя функцию косинуса при анализе синусоидального стационарного состояния, а также действительную часть экспоненциальной функции, синусоидальная функция напряжения задается следующим образом:
$$ v = V_ {m} cos ( omega t + \ phi) $$
$$ v = V_ {m} Re \ left {e ^ {j ( omega t + \ phi)} right } $$
$$ v = V_ {m} Re \ left {e ^ {j \ omega t} e ^ {j \ phi} right } $$ (1.10)
Коэффициент $$ V_ {m} $$ может быть перемещен внутри аргумента действительной части функции без изменения результата. Обратный порядок двух экспоненциальных функций внутри аргумента дает:
$$ v = \ Re \ left {V_ {m} e ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} right } $$ (1.11)
В уравнении 1.11 величина $$ V_ {m} e ^ {j \ phi} $$ является комплексным числом, которое содержит амплитуду и фазовый угол данной синусоидальной функции. Это комплексное число также известно как фазовое преобразование функции. Таким образом, фазовое преобразование дается формулой
$$ \ mathbf {V} = V_ {m} e ^ {j \ phi} = P \ left {V_ {m} cos ( omega t + \ phi) right } $$ (1.12)
Это фазовое преобразование передает синусоидальную функцию от временной области до области комплексного числа или частотной области. Еще одна вещь, добавленная в отношении уравнения. 1.12. Периодическое вхождение экспоненциальной функции $$ e ^ {j \ phi} $$ привело к сокращению. Эта аббревиатура представляет собой обозначение угла
$$ 1 \ angle \ phi ^ { circ} = 1e ^ {j \ phi} $$ (1.13)
Пассивные элементы в частотной области
Во-первых, необходимо установить связь между фазовым током и фазовым напряжением на выводах элементов пассивной схемы. Во-вторых, должна быть создана версия законов Кирхгофа, относящаяся к домену фазора. Из закона Ома, если ток в резисторе изменяется как синусоидальная волна со временем, то есть $$ i = I_ {m} cos ( omega t + \ phi) $$ напряжение на выводах резистора, является
$$ v = RI_ {m} ( cos ( omega t + \ theta _ {i})), $$ (1.14)
Где $$ I_ {m} $$ - максимальная амплитуда тока, ампер и $$ \ theta _ {i} $$ - фазовый угол тока. Фазовое преобразование этого напряжения
$$ \ mathbf {V} = RIe ^ {j \ theta _ {i}} = RI \ angle \ theta _ {i} $$ (1.15)
Но $$ I_ {m} angle \ theta _ {i} $$ является фазовым представлением синусоидального тока, поэтому уравнение 1.15 можно записать в виде
$$ \ textbf {V} = R \ textbf {I} $$ (1.16)
Eq. 1.16 - зависимость между фазовым напряжением и фазовым током для резистора, который утверждает, что фазовое напряжение на выводах резистора является просто сопротивлением, умноженным на ток фазера. На рисунке 1.1 показана принципиальная схема резистора в частотной области.
VI для индуктора
Связь между фазовым током и фазовым наложением на выводах индуктора может быть получена путем предположения о синусоидальном токе и использовании $$ L \ frac {di} {dt} $$ для установления соответствующего напряжения. Таким образом, для $$ i = I_ {m} cos ( omega t + \ theta _ {i}), $$ выражение для фазового представления напряжения равно
$$ \ textbf {V} = j \ omega L \ textbf {I} $$ (1.17)
Eq. 1.17 означает, что фазовое напряжение на выводах индуктора равно $$ j \ omega L $$, умноженное на ток фаза. Напряжение и ток на клеммах индуктора не соответствуют фазе точно $$ 90 ^ { circ} $$. В частности, напряжение приводит ток на $$ 90 ^ { circ} $$, или, что то же самое, ток отстает от напряжения на $$ 90 ^ { circ} $$. Это можно записать как
\ textbf {V} = \ omega LI_ {m} angle ( theta _ {i} + 90) ^ { circ} (1.18)
VI для конденсатора
Взаимосвязь между фазовым током и фазовым напряжением на выводах конденсатора от вывода уравнения 1, 17. Обратите внимание, что для конденсатора, который
$$ i = C \ frac {dv} {dt}, $$, тогда
$$ \ textbf {V} = \ frac {1} { textbf {j} omega \ textbf {C}} textbf {I} $$ (1.19)
Вышеупомянутое уравнение означает, что эквивалентная схема для конденсатора в фазовом домене. Напряжение на клеммах конденсатора отстает от тока точно на $$ 90 ^ { circ} $$. Это соотношение определяется
$$ \ textbf {V} = \ frac {I_ {m}} { omega C} angle ( theta _ {i} - 90) ^ { circ} $$ (1.20)
На рисунке 1.3 показано фазовое соотношение между током и напряжением на клеммах ( theta _ {i} = 60 ^ { circ})
Импеданс и реактивность
Заключение этого обсуждения элементов пассивной схемы в частотной области с еще одним важным наблюдением. Сравнивая уравнения 1.16, 1.17 и 1.19, все формы
$$ \ textbf {V} = Z \ textbf {I} $$ (1.21)
В уравнении 1.21 Z обозначает сопротивление данного элемента схемы. Решая для Z, можно показать, что импеданс представляет собой отношение фазового напряжения напряжения элемента схемы к его текущему фазору. Отмечая, что хотя импеданс является сложным числом, он не является фазором. Напомним, что фазор - это комплексное число, которое отображается как коэффициент $$ e ^ {j \ omega t} $$
Импедансом в частотной области является величина, аналогичная сопротивлению, индуктивности и емкости во временной области. Мнимая часть импеданса называется реактивной. Значения импеданса и реактивности для каждого из значений компонентов приведены в таблице 1.1.
| Элемент схемы | полное сопротивление | реактанс |
| резистор | р | - |
| Индуктор | $$ j \ omega L $$ | $$ \ omega L $$ |
| Конденсатор | $$ j ( frac {-1} { omega C}) $$ | $$ \ frac {-1} { omega C} $$ |
Решение схемы в частотной области
Синусоидальное напряжение 400 Гц с максимальной амплитудой 100 В при t = 0 подается на клеммы индуктора. Максимальная амплитуда установившегося тока в индукторе равна 20 А.
A) Какова частота тока индуктора «метатеги скрытой печати»>
Узнать больше о:
Анализ состояния синусоидального сигнала