Пифагорейский календарь
Каждый день года читатели могут рассчитывать на доказательство знаменитой теоремы Пифагора - с несколькими сюрпризами.
В начале 20 века американский учитель математики Элиша Скотт Лумис составил сборник различных доказательств теоремы Пифагора, которые он обнаружил в специализированных журналах и книгах или разработал сам. Второе издание книги, вышедшее в 1940 г., содержало около 370 корректур. Коллекция была переиздана без изменений в 1968 году от имени Национального совета учителей математики (NCTM), но теперь редко встречается в качестве антиквара.
Марио Гервиг, учитель математики и химии в средней школе в Базеле, теперь поставил перед собой задачу перевести англоязычный сборник фактов на немецкий и просеять его, упорядочить, дополнить и - в удивительном количестве мест - ошибки для устранения.
Обширная и понятная коллекция доказательств
Результатом является всеобъемлющая работа со структурированными и легко понятными комментариями к отдельным шагам проверки, а также тщательно подготовленной графикой (с использованием программного обеспечения Cinderella), которая более чем заменяет рисунки от руки Лумиса. Прежде всего, Гервиг пытался заполнить пробелы в доказательствах и показать связи с другими геометрическими теоремами.
В конце 24-страничного введения, в котором Гервиг объясняет свой подход, он дает рекомендацию относительно того, на какие доказательства читателю следует обратить особое внимание - почти во всех случаях это свидетельства известных математиков, таких как Фибоначчи. или Бхаскара.
В первой главе автор дает обзор того, что известно о пифагорейцах и какие математические факты были им известны. В следующем разделе есть в общей сложности 109 доказательств, которые Лумис и Гервиг называют алгебраическими. Глава разделена на идеи доказательства, которые могут быть получены из соображений подобия, которые связаны со средним геометрическим длин линий или являются результатом круговых фигур и их секущих или касательных. После преобразования уравнения отношений приводят к искомому уравнению a2 + b2=c2 Обширные комбинаторные соображения впечатляют, состояние отдельных трасс можно увидеть на отдельных рисунках.
Третья глава содержит 246 геометрических доказательств, использующих равенство площадей. Доказательства ножницами и бумагой, то есть доказательства разложения, дают начало. К сожалению, Гервиг не упоминает имена авторов в связи с этими доказательствами головоломок, хотя они действительно известны (среди прочих Перигал, Гёпель, Гутхейл, Эпштейн и Нильсен). В следующих разделах следуют доказательства, в которых один или два квадрата загибаются внутрь по сторонам, а новые подобласти создаются дополнительными линиями разреза.
В пятой главе автор доказывает некоторые вспомогательные теоремы, в том числе теоремы о катете, высоте, секущей и касательной, а также теоремы Паппа, Герона и Аполлония. Тот факт, что некоторые доказательства теоремы Пифагора требуют этого, показывает, что некоторые подходы на самом деле не очевидны.
Как опытный преподаватель, Гервиг знает, что разнообразие доказательств вряд ли подходит для повседневного обучения. Поэтому свою четвертую главу он посвящает использованию этой энциклопедии для обучения математике. Он описывает возможную 14-часовую обучающую серию под девизом «обнаружение разнообразия доказательств», завершая образовательный дидактический анализ предложенной им серии. Здесь автор подробно рассматривает вопрос о том, почему имеет смысл использовать примеры в школах, чтобы показать разнообразие идей, существующих для доказательства знаменитой теоремы. Он также приводит в примечании те доказательства, которые оказались особенно полезными в его учении. В частности, обучающая серия также включает доказательство обратной теоремы Пифагора: что из a2 + b2=c2 отсюда следует прямоугольность фигуры.
«Иметь разные доказательства теоремы… ценно, потому что из разных доказательств можно узнать разные новые вещи…», - пишет математик Гюнтер М. Циглер в предисловии к сборнику Гервига. Зиглер должен знать, что много лет назад вместе с Мартином Айгнером он успешно пытался реализовать идею Эрдёша о «Книге доказательств», в которой можно найти самые изящные примеры.
Помимо множества дидактических работ, библиография содержит ряд ссылок на книги по античной математике, но лишь несколько ссылок на публикации последних лет. Отсутствует ссылка на замечательный онлайн-сборник из 122 доказательств с подробными комментариями, который Александр Богомольный - вплоть до своей скоропостижной смерти в июле 2018 года - собирал.
Книга не должна отсутствовать ни в одной библиотеке студентов-учителей. Кроме того, у любителей головоломок появился новый источник с более чем 400 рисунками в книге - согласно девизу: Где на этом рисунке скрыто доказательство теоремы Пифагора? Можно лишь согласиться с выводом Циглера: «Из этой книги можно многому научиться, познакомиться с разнообразием доказательств, вдохновиться ими и получить от них удовольствие».