Понимание, вычисление и измерение полного гармонического искажения (THD)
Полное гармоническое искажение (THD) - это измерение, которое говорит вам, сколько искажений напряжения или тока связано с гармониками сигнала. THD является важным аспектом в аудио, коммуникациях и системах питания и, как правило, не всегда, как можно ниже.
Введение
Гармоники или гармонические частоты периодического напряжения или тока являются частотными компонентами в сигнале, которые находятся на целочисленных кратных частоте основного сигнала. Это основной результат, который показывает анализ Фурье периодического сигнала. Гармонические искажения - это искажение сигнала из-за этих гармоник.
Напряжение или ток, который является чисто синусоидальным, не имеет гармонических искажений, поскольку это сигнал, состоящий из одной частоты. Напряжение или ток, который является периодическим, но не чисто синусоидальным, будет иметь более высокие частотные составляющие, что способствует гармоническому искажению сигнала. В общем, тем меньше, что периодический сигнал выглядит как синусоидальная волна, тем сильнее гармонические составляющие и чем больше гармонических искажений он будет иметь.
Таким образом, чисто синусоидальный сигнал не имеет искажений, в то время как прямоугольная волна, которая является периодической, но не выглядит синусоидальной, будет иметь множество гармонических искажений. Разумеется, в реальном мире синусоидальные напряжения и токи не являются полностью синусоидальными; некоторое количество гармонических искажений будет присутствовать. На рисунках 1 и 2 представлены визуальные сравнения во временной области и частотной области синусоидального напряжения и напряжения прямоугольной волны.
Рисунок 1. Синусоидальное напряжение и напряжение прямоугольной волны во временной области
Рисунок 2. Синусоидальное напряжение и напряжение прямоугольной волны в частотной области; только квадратная волна имеет пики на гармонических частотах
Легко видеть гармонические искажения при рассмотрении представлений о временной области и частотной области прямоугольной волны, но также важно иметь возможность количественно определять гармонические искажения. В следующем разделе показано, как это сделать с метрикой полного гармонического искажения.
Вычисление общих гармонических искажений
THD определяется как отношение эквивалентного среднеквадратичного (RMS) напряжения всех гармонических частот (от второй гармоники) по среднеквадратическому напряжению основной частоты (основная частота является основной частотой сигнала, т. Е. частоту, которую вы бы идентифицировали при исследовании сигнала с помощью осциллографа). Уравнение 1 показывает математическое определение THD (обратите внимание, что в этом уравнении используется напряжение, но вместо этого можно использовать ток):
$$ THD = \ frac { sqrt { sum_ {n = 2} ^ { infty} V_ {n \ _rms} ^ {2}}} {V_ {fund \ _rms}} $$ Уравнение 1
- $$ V_ {n \ _rms} $$ - среднеквадратичное значение n-й гармоники
- $$ V_ {fund \ _rms} $$ - среднеквадратичное напряжение основной частоты
Поскольку амплитуды гармоник необходимы для расчета THD, анализ Фурье может использоваться для определения THD. Чтобы увидеть это приложение анализа Фурье, давайте посмотрим на простой пример квадратной волны с рабочим циклом 50%. Представление рядов Фурье квадратной волны с рабочим циклом 50% выглядит следующим образом:
$$ v_ {square} (t) = \ frac {4} { pi} sum_ {n = 1, 3, 5 …} ^ { infty} frac {sin (2n \ pi ft)} { n} $$ Уравнение 2
И в расширенной форме это:
$$ v_ {square} (t) = \ frac {4} { pi} sin (2 \ pi ft) + \ frac {4} {3 \ pi} sin (6 \ pi ft) + \ frac {4} {5 \ pi} sin (10 \ pi ft) + … + \ frac {4} {n \ pi} sin (2n \ pi ft) $$ Уравнение 3
Расширенную форму полезно посмотреть, поскольку она подсвечивает пиковое напряжение (V pk) каждой частотной составляющей, а THD можно вычислить, определив значение RMS (т. Е. $$ \ frac {V_ {pk}} { sqrt {2}} $$) каждой частотной составляющей и подключая их все к уравнению 1:
$$ THD_ {square} = \ frac { sqrt {( frac {4} {3 \ sqrt {2} pi}) ^ 2 + ( frac {4} {5 \ sqrt {2} pi}) ^ 2 + ( гидроразрыва {4} {7 \ SQRT {2} р}) ^ 2 + … + ( гидроразрыва {4} {п \ SQRT {2} пи}) ^ 2}} { frac {4} { sqrt {2} pi}} $$ Уравнение 4
Это уравнение начинает становиться громоздким, но стоит заметить, что каждый член выражения имеет компонент $$ \ frac {4} { sqrt {2} pi} $$. Этот компонент можно учесть, и поскольку он появляется как в числителе, так и в знаменателе, он фактически отменяется, что оставляет выражение для THD квадратной волны следующим образом:
$$ THD_ {square} = \ frac { sqrt { sum_ {n = 3, 5, …} ^ { infty} frac {1} {n ^ 2}}} {1} = \ sqrt { \ гидроразрыв {1} {3 ^ 2} + \ гидроразрыв {1} {5 ^ 2} + \ гидроразрыв {1} {7} ^ 2 + … + \ гидроразрыв {1} {(п) ^ 2}} $$ Уравнение 5
Для вычисления THD из этого выражения требуется сложная математика. Если суммирование под квадратным корнем в Уравнении 5 началось с n = 1, то это был бы сходящийся ряд, который добавляет до $$ \ frac { pi ^ 2} {8} $$:
$$ \ sum_ {n = 1, 3, 5 …} ^ { infty} frac {1} {n ^ 2} = \ frac { pi ^ 2} {8} $$ Уравнение 6
Единственное различие между выражением в уравнении 6 и тем, которое находится в вычислении THD уравнения 5 $$ \ left ( sum_ {n = 3, 5, …} ^ { infty} frac {1} {n ^ 2} right) $$ - это значение $$ \ frac {1} {n ^ 2} $$, когда n равно 1. Поскольку это значение равно 1, суммирование в выражении THD может быть переписано как:
$$ \ sum_ {n = 3, 5, …} ^ { infty} frac {1} {n ^ 2} = { sum_ {n = 1, 3, 5 …} ^ { infty } frac {1} {n ^ 2} - 1} = \ frac { pi ^ 2} {8} -1 $$ Уравнение 7
Наконец, включение этого уравнения обратно в уравнение THD для квадратной волны (уравнение 5) дает:
$$ THD_ {square} = \ sqrt { frac { pi ^ 2} {8} -1} approx 0.483 $$ Уравнение 8
Наше предположение вначале о том, что прямоугольная волна имеет много гармонических искажений, основывалось на визуальном изучении квадратной волны за время и в частотной области. Расчеты, которые мы только что прошли, подтверждают наше предположение. Фактически квадратная волна имеет около 48, 3% суммарного гармонического искажения, что означает, что среднеквадратичное значение гармоник составляет около 48, 3% от среднеквадратического значения основной частоты.
Измерение общего гармонического искажения
Вычисление теоретического THD может быть хорошим упражнением, но это может быть большая работа, и на практике вы не получите идеальный сигнал (например, идеальную квадратную волну) в любом случае. Следовательно, результат этих вычислений может дать только приблизительное значение для THD, которое вы можете получить для данного типа сигнала. На практике THD необходимо измерить, чтобы получить среднеквадратичное значение основной частоты и всех гармоник. Это измерение можно выполнить несколькими способами.
В первом методе фильтры могут использоваться для разделения сигнала на две части: сигнал со всеми отфильтрованными гармониками, оставив только основную частоту, и сигнал с основной частотой отфильтровывается, оставляя все гармоники. Затем можно измерить среднеквадратичное значение каждой из этих двух частей и рассчитывать THD:
$$ THD = \ frac {V_ {RMS \ _Without \ _Fundamental}} {V_ {RMS \ _Fundamental}} $$
Поверхность этого метода заключается в том, что эти измерения легко выполнять. Недостатком является то, что шум также будет включен в измерение, поэтому вы действительно получите измерение THD плюс шум (хотя в звуковых системах THD + шум также является важным измерением).
Второй метод измерения THD - измерение амплитуды основной частоты и каждой гармоники, а затем использование этих измерений для расчета THD с использованием уравнения 1. Это измерение может быть легко выполнено с использованием анализатора спектра или анализатора THD, который автоматически выполнит уравнение 1. Альтернативный метод измерения - захват данных напряжения или тока, а затем выполнение преобразований Фурье по собранным данным. В приведенном ниже примере описывается, как этот второй метод используется.
Пример измерения THD
В примерной блок-схеме на рисунке 3 показана синусоидальная волна 1 кГц, проходящая через усилитель для создания новой синусоидальной волны 1 кГц, которая имеет некоторые искажения кроссовера. Эта новая волна подается в анализатор спектра, который дает графическое отображение амплитуды ряда гармоник.
Рисунок 3. Система, которая вводит искажения кроссовера в сигнал
Масштабирование в частотном спектре искаженного синусоидального сигнала, мы можем видеть амплитуды на нескольких гармонических частотах:
Рисунок 4. Частотный спектр синусоидального напряжения с искажением кроссовера
Из этого частотного спектра я вручную измерил амплитуду каждой из гармонических частот и записал данные в таблице ниже:
| гармоника | амплитудное |
| 1 | 3.08V |
| 3 | 0.308V |
| 5 | 0.159V |
| 7 | 0.090V |
| 9 | 0.0487V |
| 11 | 0.0253V |
| 13 | 0.0164V |
| 15 | 0.010V |
Амплитуды четных гармоник и гармоник выше 15-го числа почти равны 0, поэтому я не включил их в мои расчеты.
Измеренные амплитуды подключаются к уравнению THD:
$$ КНИ = \ гидроразрыва { SQRT {0, 308 ^ 2 + 0, 159 ^ 2 + 0, 090 ^ 2 + 0, 0487 ^ 2 + 0, 0253 ^ 2 + 0, 0164 ^ 2 + 0, 010 ^ 2}} {3, 08} $$
(обратите внимание, что я могу использовать амплитуды напряжения вместо RMS-напряжения, потому что $$ V_ {RMS} = \ frac {V_p} { sqrt2} $$ и поскольку $$ \ sqrt {2} $$ встречается во всех терминах, его можно учесть и отменить).
Этот расчет дает THD 0, 118 или 11, 8%.
Конечно, THD-анализатор автоматизирует процесс вычисления THD из амплитуд гармоник. Использование THD-анализатора для этого сигнала дает значение 11, 9%, что подтверждает точность ручного метода, который я только что прошел.
Заключительные слова
В этой статье дается некоторое представление о THD и как ее определить, как теоретически, так и в реальной (имитируемой) системе. Но он не обсуждал типы систем, где THD является важным измерением.
THD важна для нескольких типов систем, включая силовые системы, где низкий THD означает более высокий коэффициент мощности, более низкие пиковые токи и более высокую эффективность; аудиосистемы, где низкий THD означает, что аудиосигнал является более точным воспроизведением оригинальной записи; и системы связи, где низкий THD означает меньшие помехи другим устройствам и более высокую мощность передачи для представляющего интерес сигнала.
Посмотрите на будущие статьи, где я расскажу подробнее об этих конкретных типах систем.