От параметров фильтра до оконных параметров в конструкции FIR Filter
Узнайте, как использовать спецификации фильтра, чтобы помочь выбрать наилучшие параметры окна для вашего проекта FIR-фильтра.
В предыдущей статье этой серии обсуждалось, что коническое окно, такое как Bartlett, может дать лучшую PSL, чем прямоугольное окно, которое имеет резкую вариацию во временной области.
В этой статье мы сначала рассмотрим другие популярные окна. Затем мы проясним процедуру проектирования, вычислив отсечку идеального фильтра, тип окна и длину окна по заданным спецификациям фильтра, а именно $$ \ omega_ {p} $$, $$ \ omega_ {s} $$ и $$ \ дельта $$.
Другими словами, конкретное приложение дает нам $$ \ omega_ {p} $$, $$ \ omega_ {s} $$ и $$ \ delta $$, и теперь нам нужно найти требуемый идеальный ответ фильтра, окно тип и длину окна для создания КИХ-фильтра. Связь между этими параметрами является предметом этой статьи.
Другие популярные функции окна
К счастью, Bartlett и прямоугольные окна не являются единственными параметрами в дизайне фильтра FIR, и многие другие окна были разработаны.
В таблице I показаны некоторые из самых популярных окон наряду с их важными свойствами. В таблице I Бартлетт, Ханн и Хэмминг имеют равную приблизительную ширину основного лепестка, но мы можем наблюдать общий компромисс между PSL и шириной основного лепестка. Прямоугольное окно имеет наименьшую ширину основного лепестка и самый большой PSL, тогда как у Blackman есть самый широкий основной лепесток и самый маленький PSL.
Таблица I Популярные окна и их свойства
Преобразование Фурье из трех окон, Бартлетт, Ханн и Хэмминг с $$ M = 21 $$, нанесены на рисунок (1). Указанный компромисс наблюдается и в этих трех окнах. По мере уменьшения PSL увеличивается ширина основного лепестка.
Рисунок (1) Бартлетт, Ханн и Хэмминг длины $$ M = 21 $$
В дополнение к PSL и приблизительной ширине основного лепестка в таблице I для каждого окна указывается ошибка аппроксимации пика, которая представляет собой отклонение от идеального отклика (обозначается $$ \ delta $$), выраженное в дБ. Это важный параметр, который позволяет нам выбрать подходящее окно, основанное на требованиях приложения. Пиковая аппроксимационная ошибка определяет, сколько отклонений от идеального ответа мы ожидаем для каждого из типов окон. Это показано на рисунке (2).
Как будет обсуждаться в следующем разделе, отклонения от идеального ответа в полосе пропускания и стоп-диапазоне приблизительно равны при использовании оконного метода для проектирования КИХ-фильтров, т. Е. $$ \ delta_ {1} = \ delta_ { 2} = \ дельта $$. Поэтому мы можем выбрать подходящее окно, основанное на том, сколько пульсаций разрешено в полосе пропускания или сколько затухания необходимо в стоп-диапазоне.
Рисунок (2) Отклонения от идеального ответа в полосе пропускания, $$ \ delta_ {1} $$ и в стоп-диапазоне $$ \ delta_ {2} $$. Изображение предоставлено Мичиганским университетом (PDF)
Важные свойства метода окна
В этом разделе будут рассмотрены некоторые из наиболее важных свойств оконного метода, которые необходимы для процедуры проектирования. Нам нужно найти обрезание идеального фильтра, типа окна и длины на основе заданных характеристик фильтра, а именно $$ \ omega_ {p} $$, $$ \ omega_ {s} $$ и $$ \ delta $ $. Другими словами, конкретное приложение дает нам $$ \ omega_ {p} $$, $$ \ omega_ {s} $$ и $$ \ delta $$, и теперь нам нужно найти требуемый идеальный ответ фильтра, тип окна и длину окна для создания КИХ-фильтра. Связь между этими параметрами является предметом этого раздела.
Обратите внимание, что мы не пытаемся дать строгие и тщательные доказательства. Вместо этого наша цель - дать некоторое представление об этих свойствах, чтобы вам не нужно их запоминать.
1- Идеальная частота среза, $$ \ omega_ {p} $$ и $$ \ omega_ {s} $$
При использовании оконного метода для разработки FIR-фильтра мы начинаем с спецификаций фильтра $$ \ omega_ {p} $$ и $$ \ omega_ {s} $$. Имея $$ \ omega_ {p} $$ и $$ \ omega_ {s} $$, мы должны найти подходящий идеальный фильтр с частотой отсечки $$ \ omega_ {c} $$, затем найти фильтр КИХ, связанный с этим идеалом фильтр.
Возникает вопрос: какова связь между $$ \ omega_ {p} $$, $$ \ omega_ {s} $$ и $$ \ omega_ {c} $$ "// www.allaboutcircuits.com/technical-articles / undesished-effects-of-windowing-method-in-fir-filter-design / "target =" _ blank "> предыдущая статья этой серии, чтобы вычислить свертку окна и идеальный фильтр. На этом рисунке показана идеальная требуемая частотная характеристика, разработанный фильтр и спектр сдвинутого окна. Заметим, что преобразование Фурье окна аппроксимируется только основным лепестком и первыми боковыми лепестками (предполагается, что амплитуда других боковых лепестков равна нулю). Окно сдвинуто так, что его пик точно соответствует резкому обрезанию идеального фильтра.
Рисунок (3) Преобразование Фурье окна симметрично вокруг его пика и, следовательно, $$ \ omega_ {c} = \ frac { omega_ {p} + \ omega_ {s}} {2} $$
Во-первых, предположим, что мы сдвигаем окно с его текущей позиции на $$ \ Delta x $$ вправо. Часть окна, отмеченная красными пунктирными линиями, выйдет из полосы пропускания идеального фильтра. Следовательно, значение свертки будет уменьшаться, скажем, $$ \ Delta_ {1} $$.
Теперь предположим, что мы сдвигаем окно из его положения на рисунке (3) на $$ \ Delta x $$ влево. Часть окна, отмеченная синими пунктирными линиями, войдет внутрь полосы пропускания идеального отклика. Сколько будет увеличиваться свертка?
Так как преобразование Фурье окна симметрично вокруг своего пика, свертка будет увеличиваться на $$ \ Delta_ {1} $$. Обратите внимание, что это рассуждение может быть недействительным, если мы не предполагаем, что основной лепесток с гораздо меньшим, чем полоса пропускания идеального фильтра (почему, по-вашему, это может быть так? Посмотрите, можете ли вы ответить самим.)
С учетом этого симметричного поведения рассмотрим $$ \ omega_ {p} $$, где величина частотной характеристики равна $$ 1- \ delta $$ и где $$ \ Delta _ { omega p} $$, как показано на рисунке (3), в этом случае будет $$ 1- \ delta-0.5 $$.
В $$ \ omega_ {s} $$ величина частотной характеристики будет $$ \ delta $$ и $$ \ Delta _ { omega s} $$, как показано на рисунке (3), будет $$ 0, 5- \ дельта $$. Поскольку $$ \ Delta _ { omega p} = \ Delta _ { omega s} $$, мы можем заключить, что сдвиги частоты, соответствующие этим двум случаям, равны.
Другими словами, $$ \ omega_ {c} = \ frac { omega_ {p} + \ omega_ {s}} {2} $$. Обратите внимание, что, как показано на рисунке, величина сконструированного фильтра составляет приблизительно 0, 5 при $$ \ omega = \ omega_ {c} $$. Это совершенно очевидно в особом случае игнорирования всех боковых лепестков и сохранения только основного лепестка.
2- Ошибка аппроксимации пика в полосе пропускания и стоп-диапазона
Ошибка пиковой аппроксимации в полосе пропускания равна погрешности аппроксимации пика в стоп-диапазоне. Чтобы понять это, рассмотрим рисунок (4), взятый из предыдущей статьи этой серии.
Рисунок (4) Convolution of $$ H_ {d} ( omega) $$ с (4a) $$ T_ {1} $$ (4b) $$ T_ {2} $$ (4c) $$ T_ {3} $$ и (4d) $$ T_ {1} + T_ {2} + T_ {3} $$
На этом рисунке показана свертка идеального отклика с треугольными аппроксимациями основного лепестка, $$ T_ {1} $$, первая боковая левая, $$ T_ {2} $$ и вторая боковая левая, $$ T_ {3} $ $.
Пиковая аппроксимационная ошибка напрямую связана с PSL окна. Фактически, другие боковые лепестки намного меньше, чем первая боковая лепестка, и оказывают незначительное влияние на погрешность аппроксимации пика.
Если предположить, что ширина основного лепестка окна намного меньше частоты среза, $$ \ omega_ {c} $$, идеального фильтра, $$ H_ {d} ( omega) $$, свертка $$ H_ {d} ( omega) $$ с $$ T_ {1} $$ и $$ T_ {2} $$ будут похожи на фигуры (4a) и (4b) соответственно.
Мы знаем, что свертка $$ H_ {d} ( omega) $$ с $$ T_ {2} $$ определяет рябь в частотной характеристике сконфигурированного фильтра. На рисунке (4b) $$ H_ {d} ( omega) * T_ {2} $$ имеет вариацию одного шага, A и C, на стоп-диапазоне. Кроме того, $$ H_ {d} ( omega) * T_ {2} $$ имеет вариацию только одного шага, B, в полосе пропускания.
Так как вариация $$ H_ {d} ( omega) * T_ {2} $$ одинакова как в полосе пропускания, так и в стоп-диапазоне, мы ожидаем, что погрешность аппроксимации пика будет одинаковой как при остановке -полоса и полоса пропускания.
3- Переходный диапазон и ширина основного лепестка
Имея $$ \ omega_ {p} $$ и $$ \ omega_ {c} $$, нам нужно определить ширину основного лепестка требуемого окна. С этой целью мы еще раз рассмотрим рисунок (3). Как показано на рисунке (3), мы рассматриваем только первую боковину.
На этом рисунке, если мы сдвинем окно влево, чтобы основной лепесток полностью находился в полосе пропускания идеального фильтра, мы получим максимум свертки, точка 1 на рисунке.
С другой стороны, если мы сдвинем окно вправо так, чтобы основной лепесток был прямо из идеального ответа, точка 2 будет достигнута.
Следовательно, расстояние между точками 1 и 2 почти равно ширине основного лепестка. В результате полоса перехода, $$ \ omega_ {s} - \ omega_ {p} $$, будет меньше, чем ширина основного лепестка. Однако мы можем использовать полосу перехода как оценку требуемой ширины основного лепестка.
Резюме
- При использовании оконного метода для разработки FIR-фильтра мы начинаем с спецификаций фильтра $$ \ omega_ {p} $$, $$ \ omega_ {s} $$ и $$ \ delta $$.
- Имея $$ \ delta $$, мы можем выбрать соответствующий тип окна из Таблицы I.
- Мы можем использовать полосу перехода, $$ \ omega_ {s} - \ omega_ {p} $$, как оценку требуемой ширины основного лепестка и, следовательно, найти длину окна из таблицы I.
- Имея $$ \ omega_ {p} $$ и $$ \ omega_ {s} $$, мы можем найти подходящий идеальный фильтр с частотой среза $$ \ omega_ {c} = \ frac { omega_ {p} + \ omega_ {s}} {2} $$, а затем найдите FIR-фильтр, соответствующий этому идеальному фильтру.