Основные операции с сигналами в DSP: смена времени, масштабирование по времени и реверс времени
В этой статье мы рассмотрим основные операции с сигналами, выполняемые над независимой переменной (-ами), влияющими на сигнал, и сценарии, в которых они находят свое приложение.
Краткий обзор
В первой части этой серии статей «Основные операции обработки сигналов: обзор» мы классифицировали основные операции с сигналами на два типа в зависимости от того, работают ли они на зависимой или независимой переменной (-ах), представляющей сигналы.
Сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интеграция относятся к категории базовых сигнальных операций, действующих на зависимую переменную. Краткие заметки по каждому из них вместе с их практическими приложениями обсуждались как в обзорной статье, связанной выше, так и во второй части этой серии «Основные операции в обработке сигналов: умножение, дифференциация, интеграция».
Теперь, в этой статье, мы концентрируемся на основных операциях сигнала, которые манипулируют характеристиками сигнала, воздействуя на независимую переменную (переменные), которые используются для их представления. Это означает, что вместо выполнения операций, таких как сложение, вычитание и умножение между сигналами, мы будем выполнять их на независимой переменной. В нашем случае эта переменная является временем (t).
1. Изменение времени
Предположим, что у нас есть сигнал x (t), и мы определяем новый сигнал, добавляя / вычитая из него конечное значение времени. Теперь у нас есть новый сигнал y (t). Математическое выражение для этого было бы x (t ± t 0).
Графически такая работа сигнала приводит к положительному или отрицательному «сдвигу» сигнала вдоль его временной оси. Однако учтите, что при этом ни одна из его характеристик не изменяется. Это означает, что операция сдвига во времени приводит к изменению только позиционирования сигнала, не влияя на его амплитуду или диапазон.
Рассмотрим примеры сигналов на следующих рисунках, чтобы лучше понять приведенную выше информацию.
Рисунок 1. Оригинальный сигнал и его временная версия
Здесь исходный сигнал x (n) охватывает от n = -3 до n = 3 и имеет значения -2, 0, 1, -3, 2, -1 и 3, как показано на рисунке 1 (a),
Сигналы с задержкой по времени
Предположим, что мы хотим перенести этот сигнал на три единицы (т. Е. Нам нужен новый сигнал, амплитуды которого одинаковы, но три раза сдвинуты вправо).
Это означает, что мы хотим, чтобы наш выходной сигнал y (n) охватывал от n = 0 до n = 6. Такой сигнал показан на рисунке 1 (b) и может быть математически записан как y (n) = x (n -3), Этот вид сигнала называется задержкой по времени, потому что мы заставили сигнал прибыть на три блока поздно.
Временные расширенные сигналы
С другой стороны, предположим, что мы хотим, чтобы тот же сигнал прибывал раньше. Рассмотрим случай, когда мы хотим, чтобы наш выходной сигнал продвигался, скажем, двумя единицами. Эта задача может быть достигнута путем смещения сигнала влево на два временных единицы, т. Е. Y (n) = x (n + 2).
Соответствующие входные и выходные сигналы показаны на рисунках 2 (a) и 2 (b) соответственно. Наш выходной сигнал имеет те же значения, что и исходный сигнал, но охватывает от n = -5 до n = 1 вместо n = -3 до n = 3. Сигнал, показанный на рисунке 2 (b), точно называют временем, продвинутый сигнал.
Рисунок 2. Оригинальный сигнал и его временная версия
Для обоих вышеприведенных примеров обратите внимание, что операция сдвига во времени, выполняемая по сигналам, влияет не на сами амплитуды, а на амплитуды по отношению к временной оси. В этих примерах мы использовали сигналы дискретного времени, но то же самое относится к сигналам непрерывного времени.
Практическое применение
Сдвиг во времени - важная операция, которая используется во многих приложениях обработки сигналов. Например, при выполнении автокорреляции используется временная версия сигнала. (Вы можете узнать больше об автокорреляции в моей предыдущей статье «Понимание корреляции»).
Другая область, которая включает концепцию временной задержки, - это искусственный интеллект, например, в системах, использующих временную задержку нейронных сетей.
2. Масштабирование времени
Теперь, когда мы понимаем больше о выполнении сложения и вычитания для независимой переменной, представляющей сигнал, мы перейдем к умножению.
Для этого рассмотрим наш входной сигнал как сигнал непрерывного времени x (t), как показано красной кривой на рисунке 3.
Предположим теперь, что мы умножим независимую переменную (t) на число, большее единицы. То есть, давайте сделаем t в сигнале, скажем, в 2 т. Результирующий сигнал будет отображаться синей кривой на рисунке 3.
Из рисунка видно, что сжатый по времени сигнал сжимается относительно исходного. Например, мы можем видеть, что значение исходного сигнала, присутствующего при t = -3, присутствует при t = -1, 5, а значения при t = -2 и при t = -1 находятся при t = -1 и при t = -0.5 (показаны на рисунке изогнутыми стрелками с зеленой пунктирной линией).
Это означает, что если умножить временную переменную на коэффициент 2, то мы получим, что наш выходной сигнал сжат в 2 раза по оси времени. Таким образом, можно сделать вывод, что умножение сигнала в n раз приводит к сжатию сигнала эквивалентным фактором.
Теперь, означает ли это, что деление переменной t на число, большее 1, приведет к расширению сигнала? "Src =" // www.allaboutcircuits.com/uploads/articles/BOS_3_Figure3.jpg" />
Рисунок 3. Исходный сигнал с его временными версиями
Давайте посмотрим.
Для этого рассмотрим наш сигнал как тот, что показан на рисунке 3 (красная кривая на рисунке). Теперь давайте умножим свою временную переменную t на ½ вместо 2. Полученный сигнал показан синей кривой на рисунке 3 (b). Вы можете видеть, что в этом масштабированном по времени сигнале, обозначенном стрелками зеленой пунктирной линии на рисунке 3 (b), мы имеем значения исходного сигнала, присутствующие в моменты времени t = 1, 2 и 3, которые можно найти при t = 2, 4 и 6.
Это означает, что наш сигнал с масштабированием по времени является версией исходного сигнала с растянутым по частоте. Таким образом, ответ на поставленный выше вопрос «да».
Хотя мы проанализировали операцию масштабирования по времени в отношении сигнала непрерывного времени, эта информация также относится к сигналам дискретного времени. Однако в случае сигналов дискретного времени операции масштабирования времени проявляются в форме прореживания и интерполяции.
Практическое применение
В основном, когда мы выполняем масштабирование по времени, мы меняем скорость, с которой производится выборка сигнала. Изменение частоты дискретизации сигнала используется в области обработки речи. Частным примером этого может служить система на основе алгоритма масштабирования по времени, разработанная для чтения текста для слабовидящих.
Далее, метод интерполяции используется в геодезических приложениях (PDF). Это связано с тем, что в большинстве этих приложений потребуется определить или предсказать неизвестный параметр из ограниченного количества доступных данных.
3. Сторнирование времени
До сих пор мы предположили, что наша независимая переменная представляет сигнал положительным. Почему так должно быть? Разве это не может быть отрицательным?
Это может быть отрицательным. Фактически, можно сделать это отрицательным, просто умножив его на -1. Это заставляет исходный сигнал переворачиваться вдоль оси y. То есть, это приводит к отражению сигнала вдоль его вертикальной оси отсчета. В результате операция точно известна как изменение времени или временное отражение сигнала.
Например, рассмотрим наш входной сигнал как x (n), показанный на рисунке 4 (a). Эффект подстановки - n вместо n приводит к сигналу y (n), как показано на рисунке 4 (b).
Рисунок 4. Сигнал с его отражением
Здесь вы можете заметить, что значение x (n) в момент времени n = -2 равно -1. Это равно значению y (n) при n = 2. Аналогично, x (-0, 5) = y (0, 5) = -1, x (1) = y (-1) = 1 и x (4) = y (-4) = 4 (как показано стрелками с зеленой пунктирной линией).
Это указывает на то, что график y (n) - это не что иное, как исходный сигнал x (n), отраженный вдоль вертикальной оси (обозначенный пунктирной оранжевой линией на рисунке).
Это относится как к сигналам непрерывного, так и дискретного времени.
Практическое применение
Временной разворот является важным предварительным шагом при вычислении свертки сигналов: один сигнал сохраняется в исходном состоянии, а другой - зеркально отображен и скользит по первому сигналу для получения результата. Поэтому операции обращения с обратным отсчетом полезны в различных процедурах обработки изображений, таких как обнаружение границ.
Метод определения временного разворота в форме метода обратного численного моделирования времени (TRNS) может быть эффективно использован для определения дефектов. Например, метод TRNS помогает определить точное положение метки, которая является частью структуры, вдоль которой распространяется управляемая волна.
Вывод
В этой статье представлен анализ следующих операций с сигналом: сдвиг во времени, масштабирование по времени и изменение времени. Кроме того, мы кратко рассмотрели практические приложения для этих операций.