Обзор анализа и передачи апериодических сигналов
Апериодическое представление сигнала интегралом Фурье
Апериодическая функция никогда не повторится, хотя технически говоря, апериодическая функция может считаться подобной периодической функции с бесконечным периодом. Чтобы показать, что апериодический сигнал может быть выражен как непрерывная сумма (или интеграл) бесконечных экспонент, применяется предельный процесс. Чтобы представить апериодический сигнал f (t), такой как сигнал, показанный на рисунке 1.1a, бесконечными экспоненциальными сигналами, новый периодический сигнал $$ f_ {T_ {0}} $$ должен быть сформирован путем повторения апериодического сигнала f (t) каждые T0 секунд, показанные на рис.1.1b. Период делается достаточно длинным, чтобы не перекрываться между каждым повторяющимся импульсом. Этот периодический сигнал $$ f_ {T_ {0}} $$ представлен экспоненциальным рядом Фурье. Путем пуска $$ T_ {0} rightarrow \ infty $$ импульсы в периодическом сигнале повторяются после бесконечного интервала, поэтому:
$$ \ lim_ {T_ {0} rightarrow \ infty} f_ {T_ {0}} (t) = f (t) $$
Таким образом, ряд Фурье, представляющий $$ f_ {T_ {0}} $$, также будет представлять f (t) в пределе $$ T_ {0} rightarrow \ infty $$. Экспоненциальный ряд Фурье может быть представлен для $$ f_ {T_ {0}} $$ следующим образом
$$ f_ {T_ {0}} (t) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ { infty} D_ {n} e ^ {jn \ omega _ {0} t} $$ (1.1)
по которым
$$ D_ {n} = \ frac {1} {T_ {0}} int _ {- \ frac {T_ {0}} {2}} ^ { frac {T_ {0}} {2}} f_ { T_ {0}} (t) e ^ {- jn \ omega _ {0} t} dt $$ (1.2a)
РИСУНОК 1.1. Построение периодического сигнала периодическим расширением f (t)
На рис. 1.1 представлена конструкция периодического сигнала периодическим расширением функции f (t)
а также
$$ \ omega _ {0} = \ frac {2 \ pi} {T_ {0}} $$ (1.2b)
На рис. 1.1a и 1.1b показано, что интеграция $$ f_ {T_ {0}} $$ над $$ - \ frac {T_ {0}} {2}, \ frac {T_ {0}} {2} $$ является точно так же, как если бы вы интегрировали более $$ \ left (- \ infty, \ infty \ right) $$. Упрощая границы интегрирования, уравнение 3.2a теперь выражается формулой
$$ D_ {n} = \ frac {1} {T_ {0}} int _ {- \ infty} ^ { infty} f_ {T_ {0}} (t) e ^ {- jn \ omega _ {0 } t} dt $$ (1.2c)
Интересным явлением является изменение спектра при T0. Чтобы лучше понять это странное поведение, $$ F ( omega) $$ определяется как непрерывная функция $$ \ omega $$, так как
$$ F ( omega) = \ int _ {- \ infty} ^ { infty} f (t) e ^ {- j \ omega t} dt $$ (1.3)
Последние два уравнения показывают, что
$$ D_ {n} = \ frac {1} {T_ {0}} F (n \ omega _ {0}) $$ (1.4)
Это показывает, что коэффициенты Фурье Dn являются (1 / T0 раз) образцами $$ F ( omega) $$, равномерно распределенными с интервалами $$ \ omega_ {0} $$ rad / s, как показано на рис. 1.2a. Для простоты Dn и $$ F ( omega) $$ считаются вещественными на рис. 1.2. Разрешая $$ T_ {0} rightarrow \ infty $$ путем удвоения T0 повторно, уменьшает основную частоту $$ \ omega_ {0} $$; эта операция используется так, чтобы в спектре было в два раза больше компонентов (или выборок). Следовательно, удвоением T0 оболочка $$ ( frac {1} {T_ {0}}) F ( omega) $$ сокращается наполовину, как показано на рис. 1.2b. Если T0 удваивается снова и снова, спектр станет более плотным, а его величина станет меньше. Ничего, что в пределах $$ T_ {0} rightarrow \ infty $$, $$ \ omega_ {0} rightarrow \ infty $$ и $$ D_ {n} rightarrow \ infty $$ относительная форма конверт остается неизменным. Это означает, что спектр должен быть настолько плотным, что спектральные компоненты расположены на нулевом (или бесконечно малом) уровне! Одновременно амплитуда каждой компоненты также равна нулю. Это может показаться странным на первый взгляд; однако, будет показано, что это классические характеристики очень знакомого явления. Подставляя 1.4 в уравнении 1.1, получается следующая сумма
$$ f_ {T_ {0}} (t) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ { infty} frac {F (n \ omega _ {0})} {T_ {0}} e ^ { jn \ omega_ {0}} $$ (1.5)
Здесь как $$ T_ {0} rightarrow \ infty $$, $$ \ omega_ {0} $$ становится чрезвычайно мало $$ ( omega_ {0} rightarrow 0) $$. Из-за этого предела более подходящая нотация заменит $$ \ omega_ {0} $$, $$ \ Delta \ omega $$. С этим новым понятием уравнение 1.2b теперь записывается как
$$ \ Delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {T_ {0}} $$
и уравнение 1.5 теперь написано как
$$ f_ {T_ {0}} (t) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ { infty} left ( frac {F (n \ Delta \ omega) Delta \ omega} {2 \ pi } right) e ^ {() jn \ Delta \ omega) t} $$ (1.6a)
Здесь уравнение 1.6a показывает, что $$ f_ {T_ {0}} (t)) $$ может быть выражена через сумму бесконечных экспонент с частотами $$ 0, \ pm \ Delta \ omega, \ pm 2 \ Delta \ omega, \ pm 3 \ Delta \ omega, … $$, который является рядом Фурье. В пределе $$ T_ {0} rightarrow \ infty $$, $$ \ omega_ {0} rightarrow \ infty $$ и $$ D_ {n} rightarrow \ infty $$ сумма компонента частоты $$ n \ Delta \ omega $$ - $$ (F (n \ Delta \ omega) Delta \ omega) / 2 \ pi $$. Таким образом, $$ f (t) = \ lim_ {T_ {0} rightarrow \ infty} f_ {T_ {0}} (t) = \ lim _ { Delta \ omega \ rightarrow 0} frac {1} {2 \ pi } sum_ {n = - \ infty} ^ { infty} F (n \ Delta \ omega) e ^ {(nj \ Delta \ omega) t} Delta \ omega $$ (1.6b)
В правой части уравнения 1.6b сумма представляет собой площадь под функцией $$ F ( omega) e ^ {j \ omega t} $$, как показано на рисунке 1.3. Таким образом, $$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} int _ {- \ infty} ^ { infty} F ( omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $$ (1.7)
РИСУНОК 1.2. Изменение спектра Фурье, когда период T 0 на рис. 1.1 удваивается.
РИСУНОК 1.3. Ряд Фурье становится интегралом Фурье в пределе как $$ T_ {0} rightarrow \ infty $$
Интеграл в правой части известен как интеграл Фурье. Это представление апериодического сигнала f (t) интегралом Фурье, а не рядом Фурье. Этот интеграл Фурье по существу представляет собой ряд Фурье (только в пределе) с основной частотой $$ \ Delta \ omega \ rightarrow 0 $$, как показано в уравнении 1.6.
Присвоение $$ F ( omega) $$ как прямого преобразования Фурье функции f (t) и f (t) как обратное преобразование Фурье $$ F ( omega) $$. Другим способом передать это утверждение является пара преобразований Фурье, как указано ниже
$$ F ( omega) = \ mathcal {F} (f (t)) text {и} f (t) = \ mathcal {F} (F ( omega)) $$
или
$$ f (t) Leftrightarrow F ( omega) $$
Обобщить, $$ F (t) = \ int _ {- \ infty} ^ { infty} f ( omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $$ (1.8a)
а также
$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} int _ {- \ infty} ^ { infty} F ( omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $$ (1.8b)
Спектр $$ F ( omega) $$ также может быть отложен как функция $$ \ omega $$. Поскольку $$ F ( omega) $$ является сложным, как амплитудные, так и угловые спектры выглядят следующим образом:
$$ F ( omega) = \ left | F ( omega) right | e ^ {j \ theta_ {0} ( omega)} $$
Сопряженное свойство симметрии
Из уравнения 1.8a, если f (t) - вещественная функция от t, то $$ F ( omega) $$ и $$ F (- \ omega) $$, как известно, являются комплексными сопряженными, показанными ниже.
$$ F (- \ omega) = F ^ {*} ( omega) $$ (1.9)
Следовательно, $$ \ left | F (- \ omega) right | = \ left | F ( omega) right | $$ (1.10a)
$$ \ theta_ {f} (- \ omega) = - \ theta_ {f} ( omega) $$ (1.10b)
Следовательно, для реального f (t) спектр амплитуды $$ \ left | F ( omega) right | $$ - четная функция, а фазовый спектр $$ \ theta_ {f} ( omega) $$ является нечетной функцией $$ \ omega $$. Только для реального f (t) это свойство, известное как свойство сопряженной симметрии, справедливо. Это преобразование $$ F ( omega) $$ является спецификацией частотной области f (t).
пример
Найти преобразование Фурье $$ e ^ {- at} u (t) $$
По определению уравнения 1.8а, $$ F ( omega) = \ int _ {- \ infty} ^ { infty} e ^ {- j \ omega t} dt = \ int_ {0} ^ { infty} e ^ {- (a + j \ omega) t} dt = \ frac {-1} {a + j \ omega} e ^ {(a + j \ omega)} t | ^ { infty} _ {0} $$
Но $$ \ left | e ^ {- j \ omega t} right | = 1 $$. Поэтому, как $$ t \ rightarrow \ infty, e ^ {- (a + j \ omega) t} = e ^ {- at} e ^ {- j \ omega t} = 0 $$, если $$ a> 0 $$. Следовательно, $$ F ( omega) = \ frac {1} {a + j \ omega} text {} a> 0 $$
Существование преобразования Фурье
В приведенном выше примере показано, что при а <0 интеграл Фурье для $$ e ^ {- at} u (t) $$ не сходится. Таким образом, преобразование Фурье для $$ e ^ {- at} u (t) $$ не существует, если a <0 (т. Е. Экспоненциально возрастает). Наблюдая за этим примером, не все сигналы являются трансформируемыми. Любое существование преобразования Фурье гарантировано для любого f (t), удовлетворяющего условиям Дирихле. Первое из условий следующее.
$$ \ int _ {- \ infty} ^ { infty} left | f (t) right | <\ infty $$ (1.12)
Чтобы показать это верно, напомним, что $$ \ left | e ^ {- j \ omega t} right | = 1 $$. Таким образом, из уравнения 1.8а, $$ \ left | F ( omega) right | \ leq \ int _ {- \ infty} ^ { infty} left | f (t) right | dt $$
Выражая $$ a + j \ omega $$ в полярной форме как $$ \ sqrt {a ^ {2} + \ omega ^ {2}} e ^ {j tan ^ {- 1} ( frac { omega } {а})} $$, $$ F ( omega) = \ frac {1} { sqrt {a ^ {2} + \ omega ^ {2}}} e ^ {- j tan ^ {- 1} ( frac { omega} { а})} $$
Следовательно
$$ \ left | F ( omega) right | = \ frac {1} { sqrt {a ^ {2} + \ omega ^ {2}}} $$
а также
$$ \ theta_ {f} ( omega) = -tan ^ {- 1} ( frac { omega} {a}) $$
Амплитудный спектр $$ | F ( omega) | $$ и фазовый спектр $$ \ theta_ {f} ( omega) $$ показаны на рисунке 1.4b. Заметим, что $$ | F ( omega) | $$ - четная функция $$ \ omega $$, а $$ \ theta_ {f} ( omega) $$ - нечетная функция $$ \ omega $$, как и ожидалось.
Пока выполняется условие 1.12, оно показывает, что существование преобразования Фурье гарантировано.
Линейность преобразования Фурье
Преобразование Фурье можно считать линейным, если
$$ f_ {1} (t) Leftrightarrow F_ {1} ( omega) $$ и $$ f_ {2} (t) Leftrightarrow F_ {2} ( omega) $$
тогда, $$ a_ {1} f_ {1} (t) + a_ {2} f_ {2} (t) Leftrightarrow a_ {1} F_ {1} ( omega) + a_ {2} F_ {2} ( омега) $$ (1.13)
Этот результат можно распространить на любое конечное число членов. Это доказательство тривиально и следует точно из уравнения 1.8а.
Прибытие
На данный момент вы должны понимать, что такое апериодический сигнал и как он представлен интегралом Фурье. Применяя ограничивающий процесс, вы должны знать, как апериодический сигнал может быть выражен как непрерывная сумма по вечным экспонентам, как выполняется линейность доказательства преобразования Фурье и как найти преобразование Фурье с использованием его спектров, а также сопряженных свойство симметрии. Затем понимают некоторые полезные функции, ширину полосы сигнала, фильтрацию (или интерполяцию), а также синтез импульсного сигнала с ограничением по времени.