Нежелательные эффекты функции окна в конструкции КИХ-фильтра
Как упоминалось в первой части этой статьи, более гладкая полоса перехода и рябь в полосе пропускания являются наиболее важными различиями между идеальными фильтрами и теми, которые разработаны методом окна.
В этой статье делается попытка более глубокого понимания того, как усечение приводит к этим функциям. Цель этой статьи не является математически строгим и тщательным доказательством - вместо этого мы стремимся продемонстрировать эффекты усечения интуитивно.
Ширина основной лепестка и пиковая боковая окантовка окна
Усечение импульсной характеристики эквивалентно умножению желаемого импульсного отклика, $$ h_ {d} (n) $$, прямоугольным окном, $$ w (n) $$. Мы видели, что временный сдвиг в $$ h_ {d} (n) $$ необходим для получения каузального и линейно-фазового ответа. Рассмотрим разработанный фильтр как
$$ ч (п) = H_ {d} (п \ гидроразрыва {M-1} {2}) ш (п \ гидроразрыва {M-1} {2}) $$
Уравнение (1)
где $$ w (n) $$ представляет прямоугольное окно, равное единице для $$ n = - \ frac {M-1} {2}, …, + \ frac {M-1} {2} $$ и ноль в противном случае. Как и в первой части этой статьи, мы рассмотрим концепции, используя пример. Предположим, что $$ h_ {d} (n) $$ - отклик идеального фильтра нижних частот с частотой среза $$ \ frac { pi} {4} $$. Более того, предположим, что $$ M $$ - нечетное число.
Чтобы проанализировать частотную характеристику сконструированного фильтра, нам нужно вычислить преобразование Фурье с дискретным временем уравнения (1). Из нашего курса «Сигналы и системы» напомним, что умножение во временной области равно свертке в частотной области. Чтобы применить это к уравнению (1), сначала вычислим спектр каждого члена в этом уравнении. Рассматривая свойство сдвига во времени в преобразовании Фурье, получим
$$ h_ {d, new} (n) = h_ {d} (n- \ frac {M-1} {2}) overset {F} { rightarrow} e ^ {- j \ omega \ frac {M -1} {2}} H_ {d} ( Omega) $$
$$ w_ {new} (n) = w (n- \ frac {M-1} {2}) overset {F} { rightarrow} e ^ {- j \ omega \ frac {M-1} {2 }} W ( Omega) $$
Уравнение (2)
где $$ H_ {d} ( omega) $$ и $$ W ( omega) $$ являются преобразованиями Фурье $$ h_ {d} (n) $$ и $$ w (n) $$ соответственно, Следовательно, преобразование Фурье $$ h (n) $$ будет
$$ H ( omega) = \ frac {1} {2 \ pi} H_ {d, new} ( omega) * W_ {new} ( omega) = \ frac {1} {2 \ pi} int_ {- \ pi} ^ {+ \ pi} (e ^ {- j ( omega- \ theta) frac {M-1} {2}} H_ {d} ( omega - \ theta))) (e ^ {- j \ theta \ frac {M-1} {2}} W ( theta)) d \ theta $$
Уравнение (3)
где $$ * $$ обозначает свертку. Уравнение (3) означает, что мы должны непрерывно менять желаемый спектр и умножать сдвинутый спектр на ответ окна, а затем вычислять интеграл.
Уравнение (3) можно упростить как
$$ H ( omega) = \ frac {1} {2 \ pi} e ^ {- j \ omega \ frac {M-1} {2}} int _ {- \ pi} ^ {+ \ pi} H_ {d} ( omega - \ theta) W ( theta) d \ theta $$
Уравнение (4)
Нетрудно показать, что спектр $$ w (n) $$ равен
$$ W ( omega) = \ left { begin {matrix} frac {sin ( frac { omega M} {2})} {sin ( frac { omega} {2})} & \ omega \ neq 0 \\ M & \ omega = 0 \ end {matrix} right } $$
Уравнение (5)
Нормализованная форма этой функции $$ \ frac {W ( omega)} {M} $$ доступна в MATLAB через команду $$ diric ( omega, M) $$.
Рисунок (1) показывает $$ \ frac {W ( omega)} {M} $$ за $$ M = 21 $$.
Рисунок (1) $$ \ frac {W ( omega)} {M} $$ за $$ M = 21 $$
Эта цифра указывает на две наиболее важные особенности оконной функции, то есть «ширину основного лепестка» и «максимальную боковую область». Ширину основного лепестка можно вычислить, вычитая первые два корня уравнения (5), которые находятся в $$ \ pm \ frac {2 \ pi} {M} $$. Поэтому ширина основного лепестка прямоугольного окна будет $$ \ frac {4 \ pi} {M} $$. Как показано на рисунке (1), максимальная боковая область окна представляет собой амплитуду наибольшего бокового лепестка. Мы проверим, что эти два свойства определяют гладкость полосы перехода и пульсации полосы пропускания в фильтрах, разработанных оконным методом.
Простые аппроксимации для оконного спектра
Чтобы изучить важные особенности оконной функции, мы приближаем спектр на рисунке (1) с пятью треугольниками, как показано на рисунке (2).
Рисунок (2) Приближение оконного спектра с 5 треугольниками
Если рассматривать $$ T_ {1} $$, $$ T_ {2} $$ и $$ T_ {3} $$ как уравнения, которые соответственно дают пурпурный, зеленый и красный треугольники на рисунке (2), то получим
$$ \ frac {W ( omega)} {M} approx T_ {1} + T_ {2} + T_ {3} $$
Уравнение (6)
Обратите внимание, что каждый из $$ T_ {2} $$ и $$ T_ {3} $$ представляет два треугольника.
Подставляя уравнение (6) в уравнение (4), получим
$$ H ( omega) = \ frac {1} {2 \ pi} e ^ {- j \ omega \ frac {M-1} {2}} (H_ {d} ( omega) * W ( omega))) approx \ frac {M} {2 \ pi} e ^ {- j \ omega \ frac {M-1} {2}} (H_ {d} ( omega) * (T_ {1} + T_ { 2} + T_ {3})) $$
Уравнение (7)
Из-за свойства дистрибутивности свертки нам разрешено вычислять свертку $$ H_ {d} ( omega) $$ с каждой из $$ T_ {1} $$, $$ T_ {2} $$ и $ $ T_ {3} $$, а затем добавьте результаты для достижения общей свертки.
Свертка прямоугольной функции с треугольником показана на рисунке (3). На этой фигуре демонстрируется свертка $$ T_ {1} $$, Рисунок (3a), с $$ H_ {d} ( omega) $$, Рисунок (3b), для $$ M = 21 $$, Результат свертки показан на рисунке (3c). Обратите внимание, что длительность треугольника и $$ H_ {d} ( omega) $$ равна $$ \ frac {4 \ pi} {21} $$ и $$ \ frac { pi} {2} $$, соответственно. Однако продолжительность результата свертки равна $$ \ frac {4 \ pi} {21} + \ frac { pi} {2} $$. Это связано с общим свойством свертки: если два сигнала: $$ x (t) $$ и $$ y (t) $$, с длительностью соответственно $$ T_ {x} $$ и $$ T_ {y } $$ свернуты, продолжительность результата будет $$ T_ {x} + T_ {y} $$. В нашем случае это означает, что если бы спектр окна был просто треугольником с длительностью $$ \ omega _ {1} $$, то полоса перехода проектируемого фильтра была бы примерно равна ширине $$ \ omega_ { 1} $$ тоже.
Рисунок (3) (3a) Нормированный треугольник, приближающий основной лепесток; (3b) спектра требуемого фильтра; (3c) свертки (3a) и (3b)
На основе предыдущего обсуждения мы можем легко вычислить свертку $$ H_ {d} ( omega) $$ с $$ T_ {2} $$ и $$ T_ {3} $$. Нам нужно только учитывать требуемые сдвиги по оси х и масштабировать результат по высоте каждого треугольника.
На рисунке (4) показано, как вычисляется $$ H_ {d} ( omega) * T_ {2} $$. На рисунках (4a) и (4b) показана свертка $$ H_ {d} ( omega) $$ с правой и левой частью $$ T_ {2} $$ соответственно. Смещение оси x и шкалы по оси y соответствуют расположению и высоте зеленых прямоугольников на рисунке (2). На рис. (4c) показана $$ H_ {d} ( omega) * T_ {2} $$, которая является суммой кривых на рисунках (4a) и (4b). Аналогичным образом можно найти $$ H_ {d} ( omega) * T_ {3} $$. Это показано на рисунке (5).
Рисунок (4) (4a) Свертка $$ H_ {d} ( omega) $$ с правым треугольником $$ T_ {2} $$; (4b) свертка $$ H_ {d} ( omega) $$ с левым треугольником $$ T_ {2} $$; (4c) свертка $$ H_ {d} ( omega) $$ с $$ T_ {2} $$
Рисунок (5) (5a) Свертка $$ H_ {d} ( omega) $$ с правым треугольником $$ T_ {3} $$; (4b) свертка $$ H_ {d} ( omega) $$ с левым треугольником $$ T_ {3} $$; (4c) свертка $$ H_ {d} ( omega) $$ с $$ T_ {3} $$
Теперь, когда мы вычислили все требуемые члены уравнения (7), мы можем найти ответ сконструированного фильтра. Рисунок (6) суммирует полученные результаты и показывает их сумму. Наиболее важные наблюдения заключаются в следующем:
- Обратите внимание, что величина $$ H_ {d} ( omega) * T_ {2} $$ и $$ H_ {d} ( omega) * T_ {3} $$ намного меньше $$ H_ {d } ( omega) * T_ {1} $$. Это связано с тем, что величина боковых лепестков значительно меньше, чем у основного лепестка. Поэтому общая форма частотной характеристики сконструированного фильтра примерно определяется основным лепестком. Приблизив основной лепесток треугольником, мы увидели, что ширина основного лепестка увеличивает полосу перехода. Следовательно, желательно уменьшить ширину основного лепестка. Для случая прямоугольного окна ширина основного лепестка равна $$ \ frac {4 \ pi} {M} $$. В результате для достижения более резкого перехода нам нужно увеличить ширину окна, $$ M $$.
- Хотя общая форма сконструированного фильтра определяется основным лепестком, боковые лепестки могут создавать ряби в полосе пропускания и в полосе пропускания достигнутого фильтра. Величина ряби зависит от того, насколько сильные боковые лепестки сравниваются с основным лепестком. Как правило, первая боковая лепесток больше, чем другие. Следовательно, мы можем рассматривать величину первого бокового лепестка как параметр, определяющий величину ряби в достигнутом фильтре.
Рисунок (6) Convolution of $$ H_ {d} ( omega) $$ с (6a) $$ T_ {1} $$ (6b) $$ T_ {2} $$ (6c) $$ T_ {3} $$ и (6d) $$ T_ {1} + T_ {2} + T_ {3} $$
Резюме
- Спектр прямоугольного окна заставит отклик разработанного фильтра отклоняться от идеального отклика.
- Ширина основной доли влияет на полосу перехода сконструированного фильтра.
- Чтобы уменьшить ширину основного лепестка, мы можем увеличить ширину окна, $$ M $$. Хотя этот результат был показан для прямоугольного окна, такой же вывод можно сделать для других функций окна. Обратите внимание, что, к сожалению, увеличение $$ M $$ приводит к более высокой вычислительной сложности. Есть ли какой-либо способ, кроме увеличения $$ M $$, уменьшить ширину основного лепестка и добиться более резкого перехода «скрытый-пейджер»>
- ← Предыдущая статья
- Следующая статья →