Динамическая выборка
Гудрун встретилась с математиком из США Розой Аческа из Македонии в Турине на конференции MicroLocal and Time-Frequency Analysis 2018.
Тема записанного разговора - динамическая выборка. Ситуация, которую изучают Роза и другие математики, такова: существует процесс, развивающийся во времени, который в принципе хорошо изучен. С математической точки зрения это означает, что мы знаем уравнение, управляющее нашей моделью процесса, или, другими словами, мы знаем семейство операторов эволюции. Часто это дифференциальное уравнение в частных производных, учитывающее изменения во времени и 1, 2 или 3 пространственных переменных. Это означает, что если мы знаем начальную ситуацию (то есть начальные условия в математических терминах), мы можем численно рассчитать хорошие приближения для случаев, когда процесс будет иметь место в любом месте и в любое время в будущем.
Но в целом при наблюдении за процессом жизнь не так хорошо отсортирована. Вместо этого мы можем знать основное уравнение, но только посредством (возможно, только нескольких) измерений мы можем найти информацию о начальных условиях или материальных константах для процесса. Это приводит к двум вопросам: сколько измерений необходимо для получения полной информации (т.е. для получения точных знаний)? Существуют ли возможности так разумно выбрать время и пространственное положение измерения, чтобы получить как можно больше новой информации из любого измерения? Это математические вопросы, ответы на которые можно найти, изучая уравнения.
Наука о сэмплировании началась в 1940-х годах с Клода Шеннона, который обнаружил фундаментальные ограничения обработки сигналов. Он разработал точную основу - так называемую теорию информации. Теория выборки и реконструкции важна, потому что она служит мостом между современным цифровым миром и аналоговым миром непрерывных функций. Удивительно видеть, как много приложений полагаются на взятие образцов для понимания процессов. Вот несколько примеров из нашей повседневной жизни: обработка аудиосигналов (электрические сигналы, представляющие звуки речи или музыки), обработка изображений и беспроводная связь. Но также и сейсмология или геномика могут разрабатывать модели, только проводя очень интеллектуальные выборочные измерения, или, другими словами, придавая наиболее научный смысл имеющимся измерениям.
Новое развитие динамической выборки заключается в том, что при отслеживании процесса во времени можно найти хорошие варианты для получения ценной информации о процессе в разные моменты времени, а также в разных пространственных местоположениях. На практике увеличение количества пространственно используемых датчиков обходится дороже (или даже невозможно), чем увеличение временной плотности выборки. Эти проблемы преодолеваются пространственно-временной структурой выборки в процессах эволюции. Идея состоит в том, чтобы использовать меньшее количество датчиков, каждый из которых активируется чаще. Роза ссылается на статью Энрике Зуазуа, в которой он и его соавтор изучают уравнение теплопроводности и строят серию измерений более позднего времени в одном месте на протяжении всего основного процесса. Уравнение теплопроводности является прототипом, и аналогичные идеи можно использовать в более общем случае. Это одна из тем, в которой Роза и ее коллеги преуспели и хотят продолжить.
После того, как Роза получила степень доктора философии. по математике в Венском университете работала доцентом в университете святых Кирилла и Мефодия в Скопье (Македония), а затем в университете Вандербильта в Нэшвилле (Теннесси). В настоящее время она является преподавателем Государственного университета Болла в Манси (Индиана).
Ссылки
- Обзор по теории выборки и ее приложениям: М. Унсер: Выборка - 50 лет спустя Шеннона. Труды IEEE 88 (4) 569 - 587, 2000.
- Динамическая выборка в инвариантных к сдвигу пространствах: Р. Аческа и.о.: Динамическая выборка в инвариантных к сдвигу пространствах 2014 (Версия в архиве)
- Динамическая выборка: Р. Аческа, А. Петросян, С. Танг: Динамическая выборка двумерных изменяющихся во времени сигналов Международная конференция по теории и приложениям выборки (SampTA), DOI: 10.1109/SAMPTA.2015.7148929, 2015.
- ДеВоре, Рональд и Энрике Зуазуа: Восстановление начальной температуры по дискретным образцам, Математические модели и методы в прикладных науках 24.12 (2014): 2487-2501, 2014.
- Эволюционные операторы, участвующие в динамической выборке: С. Танг: Идентификация системы в динамической выборке, Успехи в вычислительной математике 43 (3) 555-580, 2017.
- О Системах, базисах и фреймах Бесселя в установке динамической выборки: А. Альдруби и др.: Итеративные действия нормальных операторов Journal of Functional Analysis 272 (3), 1121-1146, 2017.