Нет простых ответов
Простые вопросы не всегда требуют простых ответов. Вряд ли какая-либо математическая задача демонстрирует это лучше, чем до сих пор не решенная гипотеза Коллатца.
В пятом семестре моих занятий по астрономии я посетил свою первую лекцию по небесной механике. Там профессор представил нам, казалось бы, простую математическую задачу. Дано любое положительное натуральное число. Если это число четное, то оно делится на 2. Если он нечетный, то умножьте его на 3 и прибавьте 1. Результат этого расчета соблюдается именно по этой схеме. В какой-то момент вы получите число 4, которое затем станет 2 на следующем шаге, а затем 1. Согласно арифметическому правилу, с 1 вы вернетесь к 4, и в результате получится бесконечный цикл вида 4, 2, 1, 4, 2, 1, … Вопрос, на который мы должны были ответить, был: которые действительно применимы ко всем любым положительным целым числам, или есть исключения?
Тогда мы не знали, что профессор задал нам в качестве домашнего задания одну из величайших нерешенных задач по математике. В математической формулировке он ставит вопрос об итеративном вычислении этой функции:
Я до сих пор помню, как листал страницу за страницей, чтобы найти ответ на вопрос. Поскольку проблему можно было сформулировать таким простым способом, должно было быть легко найти решение - по крайней мере, я так думал. Фактически, поколения математиков потерпели неудачу в этом. Известный теоретик чисел Пол Эрдёш сказал, что «математика еще не готова к таким задачам», а математик Ричард Гай даже предупредил: «Не пытайтесь решать эти задачи."
Математическая задача названа в честь немца Лотара Коллатца, впервые сформулировавшего ее в 1937 году. С помощью компьютеров было проверено абсурдно большое количество цифр. Для всех натуральных чисел до 5×260 гипотеза Коллатца выполняется. Но независимо от того, сколько чисел вы проверяете, в конечном итоге в математике имеет значение только логически строгое и общепринятое доказательство.
Поведение ряда чисел, сгенерированного правилом расчета Коллатца, может быть удивительно сложным. Например, если вы начнете с числа 26, вы сможете достичь своей цели за десять шагов (26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1). С другой стороны, если вы начинаете с 27, потребуется 111 шагов, чтобы добраться до 1, а между ними числа достигают удивительно высоких значений (в данном случае до 9232).
После того, как я не смог продвинуться дальше в доказательстве гипотезы Коллатца, несмотря на часы вычислений, я решил написать компьютерную программу, чтобы, возможно, лучше понять, что здесь происходит. Возможно, согласно этой идее, существует некоторая четкая зависимость между длиной числового ряда и начальным значением, которая могла бы помочь в доказательстве. Схемы, полученные таким образом, были весьма красивы, но, к сожалению, больше мне не помогли.
Конечно, наш профессор знал, что, по всей вероятности, никто из нас не решит задачу. Но дело было не в этом. Гипотезу Коллатца можно сформулировать и понять с помощью простейшей математики. Однако ее кажущаяся простота находится в прямом контрасте со сложностью, с которой приходится сталкиваться, вникая в детали, скрытые в формуле. Он символизирует все то, что делает математику такой интересной для меня - все тайны и идеи, скрытые в простых отношениях между простыми числами.
Если вы познакомились с гипотезой Коллатца, а математика все еще кажется вам скучной, вам следует поискать другую область работы. Однако мы, студенты курса небесной механики, были в восторге. Мы провели остаток семестра в поисках доказательств. Мы не нашли его, но нашли любовь к математике.