Математическое построение и свойства диаграммы Смита
Smith Charts - чрезвычайно полезный инструмент для инженеров и дизайнеров, занимающихся RF-схемами. В этой статье рассматривается математика, создающая диаграмму и ее физическую интерпретацию.
Рекомендуемый уровень
промежуточный
Введение
Диаграмма Смита используется с 1930-х годов в качестве метода решения различных проблем, связанных с RF-дизайном, в частности согласования импеданса с серийными и шунтирующими компонентами, и обеспечивает удобный способ поиска этих решений без использования калькулятора. Чтобы понять построение диаграммы, вам нужно понять алгебру средней школы и основы сложных чисел, а также иметь базовое понимание импеданса в электронных схемах. Тем не менее, даже если вы не полностью понимаете вывод ниже, вы все равно можете использовать диаграмму, чтобы помочь вам с вашим собственным дизайном. Принимая формулу стандартного коэффициента отражения и манипулируя ею, чтобы она давала нам уравнения для кругов различных радиусов, мы сможем построить базовую диаграмму Смита. Вот и все диаграммы Смита на самом деле: коллекция кругов, каждая из которых сосредоточена в другом месте (или снаружи) графика, и каждый из них представляет либо постоянное сопротивление, либо постоянное значение.
Получение диаграммы Смита
Как только мы закончим вывод, будет несколько упрощенных изображений, показывающих, как эти уравнения могут использоваться и объединяться для получения конечного продукта. Начнем с написания уравнения для коэффициента отражения импеданса нагрузки при заданном импедансе источника:
$$ \ Gamma = \ гидроразрыва {Z_ {источник} -Z_ {нагрузки}} {Z_ {источник} + Z_ {нагрузка}} $$
Коэффициент отражения - это просто отношение комплексной амплитуды отраженной волны к амплитуде падающей волны. Это основное уравнение, которое мы будем использовать, но будут быстрые преобразования. Во-первых, мы хотим немного упростить его, нормализуя уравнение относительно нагрузки Z, разделив каждый член на правой стороне:
$$ \ Gamma = \ frac { frac {Z_ {source}} {Z_ {load}} - \ frac {Z_ {load}} {Z_ {load}}} { frac {Z_ {source}} {Z_ { нагрузка}} + \ гидроразрыва {Z_ {нагрузки}} {Z_ {нагрузка}}} $$
$$ \ Gamma = \ frac {Z_ {O} -1} {Z_ {O} +1} $$
Где, $$ Z_ {O} = \ frac {Z_ {source}} {Z_ {load}} $$
Напомним, что Z o, являясь импедансом комплексного значения, можно представить в виде R + jX. Поскольку коэффициент отражения (который в настоящее время находится в полярной форме) также может быть представлен в прямоугольных координатах (для него мы будем использовать A + jB), приведенную выше формулу можно преобразовать в это:
$$ A + jB = \ frac {R + jX -1} {R + jX + 1} $$
Большой! На этом этапе у нас есть уравнение в форме, в которой нам нужно начать строить диаграмму Смита. Следующий шаг - решение для реальной и мнимой частей уравнения - это, вероятно, самая сложная часть всего вывода, и даже тогда вам нужно только понять концепцию комплексных сопряжений для этого. Давайте продолжим и разделим его на реальные и мнимые компоненты, сначала умножив на комплексное сопряжение (это помогает, если вы отделяете существующие реальные и мнимые части с помощью скобок, как показано ниже):
$$ A + jB = \ frac {(R-1) + jX} {(R + 1) + jX} cdot \ frac {(R + 1) -jX} {(R + 1) -jX} $$
$$ A + jB = \ frac {R ^ 2-1 + X ^ 2 + 2jX} {(R + 1) ^ 2 + X ^ 2} $$
На этом этапе мы можем разделить вещественные и мнимые компоненты. После этого будет сделано два последних упрощения, прежде чем мы получим уравнения для построения диаграммы Смита. Здесь находятся отделенные вещественные и мнимые части (назовем их уравнениями 1 и 2):
$$ A = \ frac {R ^ 2-1 + X ^ 2} {(R + 1) ^ 2 + X ^ 2} text {(Уравнение 1)} $$
$$ B = \ frac {2X} {(R + 1) ^ 2 + X ^ 2} text {(Уравнение 2)} $$
Наконец, вы захотите сделать немного больше алгебры (нудно, я знаю). Решая действительный компонент A, для X 2 вы получите уравнение 3:
$$ X ^ 2 = \ frac {A (R + 1) ^ 2-R ^ 2 + 1} {1-A} text {(Уравнение 3)} $$
Вы можете заменить это на уравнение 2, чтобы получить первое из двух наших окончательных уравнений, которое позволяет определить круги постоянного сопротивления (уравнение 4):
$$ (A- \ frac {R} {R + 1}) ^ 2 + B ^ 2 = ( frac {1} {R + 1}) ^ 2 \ text {(Уравнение 4)} $$
Это выглядит знакомым «text-align: center;»> $$ R = \ frac { sqrt {-BX (BX-2)} - B} {B} $$
который при замене и упрощении в уравнение 1 даст вам этот результат (уравнение 5):
$$ (A-1) ^ 2 + (B- \ frac {1} {X}) ^ 2 = ( frac {1} {X}) ^ 2 \ text {(Уравнение 5)} $$
Точно так же, как и предыдущий результат, это круг с радиусом $$ \ frac {1} {X} $$, но на этот раз есть два набора кругов (побольше на это), с центрами в ($$ 1 $ $, $$ 1 / X $$). Это кружки (они появляются как дуги на диаграмме) постоянного реактивного сопротивления. Теперь вы должны увидеть, как рисуется стандартная диаграмма Смита; он состоит из постоянных кругов сопротивления, скрепленных вместе с постоянными дугами реактивности. Ниже вы найдете несколько упрощенных изображений обоих уравнений, граффитированных отдельно и комбинированных. Но сначала поговорим о том, как интерпретировать диаграмму Смита и ее физическую значимость.
Существует довольно немного информации, которую можно получить из анализа полученных нами уравнений. Вот лишь несколько примечательных замечаний:
- При бесконечном R и X оба типа кругов сходятся в одном и том же месте (как правило, показано на диаграмме Смита в правой или левой части диаграммы). Это находится в точке (1, 0).
- Установка R = 0 приведет к тому, что на вашей диаграмме будет окружен центр с центром (0, 0) с радиусом 1, который является «границей» графика.
- Приближение к X = 0 приводит к бесконечному радиусу; это представлено линией, пересекающей центр диаграммы. Как мы это интерпретируем? Это часто называют реальной осью. С точки зрения реакций линии над реальной осью на диаграмме (положительные дуги от второго производного уравнения) представляют собой индуктивные реактивные сопротивления, а те, что ниже (отрицательные дуги), представляют собой емкостные реактивные сопротивления.
- Что произойдет, если R <0? Стандартная диаграмма Смита не дает подробностей об этом, но ситуации с R, лежащие вне границы, предполагают колебания в любой потенциальной цепи (что очень удобно знать).
- Основываясь на наших знаниях о сопротивлении и реактивности на графике, мы знаем, что каждая точка представляет собой комбинацию сопротивления и реактивности (R + jX). Это поможет нам, когда мы захотим сделать некоторые замыслы.
Постоянные кружки сопротивления
Дуги постоянного сопротивления
Круги сопротивления и дуги реактивности: базовая диаграмма Смита
Использование диаграммы для управления импедансом
Итак, как использовать диаграмму? Чтобы построить импеданс для целей согласования импеданса, наилучшей практикой является найти соответствующий круг постоянного сопротивления (тот, который соответствует реальной части вашего импеданса), а затем двигаться вдоль его дуги, пока не найдете его пересечение с соответствующим значением сопротивления, Например, предположим, что у вас есть импеданс Z = 0, 3 - 0, 6j. Сначала найдите круг постоянного сопротивления 0, 3. Поскольку ваш импеданс имеет отрицательное комплексное значение, это представляет собой емкостный импеданс в сети теоретических рядов, и вы будете двигаться против часовой стрелки вдоль круга сопротивления 0, 3, чтобы найти, где он попадает в дугу реактивного сопротивления -0, 6 (если это был положительный комплекс значение, это будет представлять собой индуктор, и вы будете двигаться по часовой стрелке). Вы можете продолжать делать это как простой способ выполнить согласование импеданса для вашей схемы, а диаграмма Смита - очень интуитивная физическая помощь. Вам нужно только выполнить следующие действия:
- Зная значение импеданса нагрузки, найдите его на диаграмме Смита и используйте его в качестве исходного места.
- Если вы знаете сопротивление, которое источник хотел бы «видеть», вы можете добавить ряд компонентов (шунты будут упомянуты ниже) путем добавления и вычитания значений реактивности до тех пор, пока вы не получите желаемый импеданс.
Важно отметить две вещи:
- Вы часто можете найти на практике, что цифры в вашем графике малы по сравнению с теми значениями компонентов, которые вы ищете. Здесь снова начинается нормализация; часто наиболее удобно нормализовать любой импеданс (например, Z = 200 + j400), с которым вы работаете, деля его на значение, которое делает его наиболее простым для вас (часто это значение реального компонента, но используйте ваши лучшие суждение). Таким образом, вы можете работать в менее переполненном районе диаграммы Смита, что приводит меня к следующему пункту:
- Это легко при работе с диаграммой Смита, которую нужно поймать, имея дело с значениями импеданса ближе к точке (1, 0), и в этом случае у вас будут трудности с ошибками в ваших вычисленных значениях. Именно поэтому лучше всего нормализовать значения импеданса при работе с диаграммой, позволяя вам работать с более широкими дугами при совпадении импедансов и обеспечении постоянной точности при добавлении компонентов последовательно.
Одна заключительная записка - диаграммы доступа и иммитации
До сих пор не было упоминания о допуске в диаграмме Смита. Если вы незнакомы, вход Y является обратным импедансом, или $$ Y = \ frac {1} {Z} $$. Термины, соответствующие сопротивлению и реактивности, называются соответственно проводимостью и восприимчивостью. На самом деле удивительно легко построить эквивалентную диаграмму для допуска - все, что вам нужно сделать, - это отобразить диаграмму горизонтально. Это важный шаг, так как, перевернув его, теперь у вас есть диаграмма, которая поможет вам справиться со шунтирующими компонентами, а не последовательно.
Процесс построения адмитанса существенно меняется - при добавлении индуктора в последовательную схему будет перемещаться значение импеданса по часовой стрелке вдоль постоянного круга сопротивления, шунтирующий индуктор будет перемещать его против часовой стрелки вдоль постоянного круга допуска; шунтирующие конденсаторы аналогичным образом перемещают ваши значения по часовой стрелке на диаграмме допуска, где последовательный конденсатор будет против часовой стрелки.
Сочетание обоих типов диаграмм дает вам так называемую диаграмму иммиграции, которая (как только вы добавляете несколько других деталей, которые здесь не рассматриваются) становится еще более полезной, чем стандартная диаграмма Смита, хотя она, безусловно, будет более запугивать кого-то, кто не знакомы с тем, как он создается.
Надеюсь, эта статья предоставила вам полный обзор того, как построена и функционирует диаграмма Смита. Обязательно сообщите ниже о любых проблемах или вопросах, которые могут возникнуть у вас.