Лучшее понимание DSP: Изучение свертки
В этой статье представлен обзор операции свертки и обсуждается два приложения.
Исходная информация
В мире все больше потоки с электронными гаджетами, некоторые из них нужны, но для роскоши. Независимо от категории, в которую они попадают, мы можем заметить основной факт, что все они используют «сигналы» для выполнения своих задач.
Теперь этого достаточно, чтобы иметь сигналы «Обработка сигналов».
В зависимости от сложности обработки сигнала мы можем классифицировать операции с сигналами на две широкие категории. Они есть:
- Основные операции с сигналами, такие как сложение и вычитание
- Расширенные операции с сигналами, такие как корреляция и фильтрация
свертка
В этой статье мы поговорим о передовой технологии обработки сигналов, называемой сверткой. Простой поиск в Google этого термина приводит нас к следующему определению: «катушка или поворот». Хотя это не определение, которое мы будем использовать, свертку можно объяснить аналогичным образом, даже когда мы имеем дело с ним в терминах сигналов.
Это связано с тем, что шаги, связанные со сверткой двух сигналов x 1 (n) и x 2 (n):
- Сохраните один из сигналов - мы назовем его x 1 (n) - так как он покажет другой - мы назовем его x 2 (n) - вдоль его временной оси.
- Слайд x 2 (n) вдоль x 1 (n) при умножении перекрывающихся выборок и суммировании терминов продукта в каждый момент времени.
На рисунке 1 показан пример такой операции свертки, выполняемой над двумя дискретными временными сигналами x 1 (n) = {2, 0, -1, 2} и x 2 (n) = {-1, 0, 1}. Здесь первая и вторая строки соответствуют исходному сигналу x 1 (n) и перевернутой версии сигнала x 2 (n) соответственно.
Рисунок 1. Графический метод нахождения свертки
Затем у нас есть третья строка, содержащая продукт (значения, написанные синим шрифтом) перекрывающихся образцов из первых двух строк. Наконец, мы можем получить образцы свернутого сигнала, добавив эти термины продукта, соответствующие значения которых представлены красным шрифтом на рисунке.
Таким образом, в рассматриваемом примере у нас есть наш свернутый выходной сигнал как y (n) = {-2, 0, 3, -2, -1, 2}.
Математическое выражение
При определении какой-либо операции полезно выразить ее в математических терминах. Свертка не исключение!
Математически уравнение свертки очень похоже на уравнение корреляции. Однако, в отличие от корреляции, свертка включает переворот одного из сигналов. Этот разворот может быть представлен как (t - τ), где τ - рассматриваемый момент времени.
В результате для непрерывных сигналов времени x 1 (t) и x 2 (t) мы можем выразить операцию свертки как
$$ y \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ { infty} left {x_ {1} left ( tau \ right) x_ {2} left (t - \ tau \ right) right } d \ tau $$
или
$$ y \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ { infty} left {x_ {1} left (t - \ tau \ right) x_ {2} left ( tau \ right) right } d \ tau $$
Эквивалентно, для дискретных сигналов времени мы имеем
$$ y \ left (n \ right) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty \ left {x_ {1} left (k \ right) x_ {2} left (nk \ right) right } $$
или
$$ y \ left (n \ right) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty \ left {x_ {1} left (nk \ right) x_ {2} left (k \ right) right } $$
Приложения
Характеризуя линейную временную инвариантную (LTI) систему с точки зрения ее передаточной функции
Рассмотрим случай, когда нам требуется охарактеризовать неизвестную систему. Это важно, потому что это поможет нам получить представление о работе системы. Один из способов характеризации системы - выразить ее в терминах ее функции передачи частоты или ее частотного спектра.
Для достижения этой цели на систему накладывается широкий диапазон частот (генерируемых с помощью генераторов развертки, например), и получается ответ системы для каждого из них. Если мы поддерживаем равную амплитуду и фазу для каждой частоты, мы можем заключить, что любые амплитудные и / или фазовые изменения, наблюдаемые на соответствующих выходах, указывают на характеристики системы. Таким образом, совокупный результат этих ответов будет функцией передачи частоты системы.
Однако есть еще один способ решить эту проблему. Напомним, что преобразование Фурье дельта-функции имеет плоский частотный спектр с постоянным значением 1 для всего частотного диапазона. Это указывает на то, что вместо генерирования всех возможных частот, накладываемых на систему, в качестве входа можно использовать одну дельта-функцию. Тем не менее, мы перевели нашу частотную проблему в проблему с временным доменом.
Этот режим изменения входного сигнала также требует изменения в работе, выполняемой над ним. Новая сигнальная операция является сверткой. Это связано с тем, что по теореме о свертке умножение в частотной области будет принимать форму свертки во временной области, а умножение во временной области будет иметь форму свертки в частотной области.
Таким образом, результат, который мы получаем с использованием всех частот в частотной области, совпадает с тем, что мы получаем, используя дельта-функцию в сочетании с операцией свертки во временной области.
Прямым следствием этого является основное применение свертки: характеристика системы в терминах ее передаточной функции. Заметим, что если система линейна и нестационарна по времени (LTI), то ее ответ на импульсный вход адекватен для определения характеристик его передаточной функции (см. Рис. 2).
Рисунок 2. Характеризация системы с точки зрения ее импульсной характеристики
Определение выхода системы LTI, когда ее вход известен
Рассмотрим случай, когда у нас есть система, импульсная характеристика которой показана на рисунке 2.
Теперь предположим, что эта система линейна и питается одним импульсным импульсом на своем входе. В этом случае мы можем ожидать, что выход системы будет таким же, как и ответ системы, полученный на рисунке 2, за исключением того, что он масштабируется на величину, равную степени входа (в правой части рис. 3).
Рисунок 3. Ответ линейной системы на масштабированный импульс на ее входе
Предположим далее, что система обладает свойством временной инвариантности. В таком случае, если мы предоставим ему импульс, сдвинутый вдоль временной оси, тогда система будет производить выход, в котором его импульсная характеристика сдвигается на равную величину (как показано на рисунке 4).
Рисунок 4. Реакция временной инвариантной системы для сдвинутого во времени импульса на его входе
Итак, что, если система как линейная, так и временная? Просто объедините оба результата!
Если система LTI, то масштабированная сдвинутая импульсная функция на ее входе даст масштабированный сдвинутый импульсный отклик на его выходе (показан на рисунке 5).
Рисунок 5. Реакция системы LTI на масштабированную, сдвинутую импульсную функцию
Возможно, вам интересно, почему нам нужно это преодолеть. Прежде чем ответить, давайте установим важный факт о сигналах, которые, как я надеюсь, большинство из вас знакомы: любой сигнал может быть выражен в единицах импульсов или диракт-дельта-функций. (Ознакомьтесь с этими ресурсами для получения дополнительной информации: сигналы, линейные системы и свертка и сигналы в естественной области: сводка с дискретным временем.)
Теперь, чтобы получить наш ответ, давайте соединим эту концепцию с обсуждением, которое мы имеем о свертке.
Этот факт о выражении сигнала подразумевает, что любой сигнал представляет собой серию масштабированных импульсных функций, которые сдвинуты во времени. Однако для каждой из этих импульсных функций мы можем предвидеть поведение системы, если мы знаем ее импульсную реакцию.
Поскольку системы LTI подчиняются закону суперпозиции, мы можем добавить все эти индивидуальные ответы системы. Результатом, полученным в результате этого процесса, будет выход системы, когда вход подается в нее.
Например, входной сигнал {-1, 2, 1} можно разделить на три отдельные последовательности: одну по величине -1, расположенную в момент времени 0, другую величину 2, расположенную в момент времени 1, и последнюю из величина 1, расположенная в момент времени 2. Эти данные представлены в табличной форме в таблице I на рисунке 6.
Рисунок 6. Поиск выхода системы с использованием свертки
Поместив эту информацию в форму таблицы, мы можем найти выход системы для каждой из этих последовательностей отдельно. Это показано в первых трех строках таблицы II на рисунке 6.
Наконец, мы добавляем образцы, соответствующие каждому временному моменту, чтобы получить общий вывод системы (последняя строка таблицы II). Этот результат является выходом системы при подаче входного сигнала {-1, 2, 1}.
По существу, мы можем эффективно найти выход любой системы LTI, используя свертку, если мы знаем ее импульсную характеристику. Хотя приведенный выше пример имеет сигнал дискретного домена, оператор сохраняет хорошие результаты даже для сигналов непрерывного времени.
Резюме
В этой статье представлено краткое введение в свертку и два сценария, в которых он широко используется. Другие области, в которых свертка находит свое применение, будут рассмотрены в части II этой серии статей.