Линии передачи: от сосредоточенного элемента до режимов распределенных элементов
Опираясь далее на концепцию линии передачи, исследуется граница между обработкой линии как единого элемента сосредоточенной схемы и использованием параметров распределенной схемы с простым анализом на питоне. Показаны параметры схемы для нескольких геодезических волноводов.
В предыдущей статье «Введение в длинную линию передачи» характер параметров линии был получен из предположения, что их можно считать распределенными по длине линии. Элементы были смоделированы с последовательной индуктивностью на единицу длины $$ z = R + j \ omega L $$ и шунтирующим допуском на единицу длины $$ y = G + j \ omega C $$. Они объединяются в сосредоточенный участок линии передачи
Как обсуждалось ранее, на определенной длине провод должен быть рассмотрен для эффектов, которые он оказывает на общую систему в качестве элемента схемы. Пока провод приближается к такой длине, его можно аппроксимировать как особый сосредоточенный элемент, значения которого зависят от геометрии волновода и среды, из которой он сделан. Для произвольной геометрии значения для R, L, C и G могут быть получены с учетом нескольких предположений, которые мы будем считать само собой разумеющимися. Используя произвольный волноводный профиль на рисунке 2 с поперечными электрическими магнитами (TEM) и полями $$ \ bar {E} $$ и $$ \ bar {H} $$ с площадью поперечного сечения S.
Напряжение между проводниками $$ C_1 $$ и $$ C_2 $$ считается $$ V_0 e ^ { pm j \ beta z} $$, а ток имеет вид $$ I_0 e ^ { pm j \ beta z} $$. Средневзвешенная сохраненная магнитная энергия для 1-метровой секции
$$ W_m = \ frac { mu} {4} int_ {S} bar {H} cdot \ bar {H} ^ * ds $$
Теория цепей показывает $$ W_m = L \ cdot \ left | I_0 \ right | ^ 2/4 $$ в терминах тока на линии. Таким образом, самоиндукция на единицу длины равна
$$ L = \ frac { mu} ^ 2 \ int_ {S} bar {H} cdot \ bar {H} ^ * ds;;;;; H / m $$
Аналогично, усредненная по времени электрическая энергия на единицу длины равна
$$ W_e = \ frac { epsilon} {4} int_ {S} bar {E} cdot \ bar {E} ^ * ds $$
Еще раз, теория схем обеспечивает отношение $$ W_e = C \ cdot \ left | V_0 \ right | ^ 2/4 $$, который затем дает емкость на единицу длины
$$ C = \ frac { epsilon} ^ 2 \ int_ {S} bar {E} cdot \ bar {E} ^ * ds;;;;; F / m $$
Потери мощности на единицу длины из-за конечной проводимости металлических проводников задаются уравнением
$$ P_C = \ frac {R_S} {2} int_S { left | \ bar {J} right | ^ 2 ds} $$
Что для этой произвольной геометрии становится:
$$ P_C = \ frac {R_S} {2} int_ {C_1 + C_2} { bar {H} cdot \ bar {H} ^ * dl} $$
Это связано с предположением, что $$ \ bar {H} $$ является касательным к S. Теория цепей дает $$ P_C = R \ cdot \ left | I_0 \ right | ^ 2/2 $$, поэтому последовательное сопротивление на единицу длины становится
$$ R = \ frac {R_S} ^ 2 \ int_ {C_1 + C_2} bar {H} cdot \ bar {H} ^ * dl;;;;; \ Omega / m $$
Где $$ R_S = \ frac {1} { sigma \ delta_S} $$ - поверхностное сопротивление проводников, а $$ C_1 + C_2 $$ - путь интегрирования по границам проводника. Точно так же проводимость на единицу длины представляет собой уравнение для усредненной по времени рассеиваемой мощности на единицу длины в диэлектрике с потерями
$$ P_d = \ frac { omega \ epsilon ''} ^ 2 \ int_ {S} bar {E} cdot \ bar {E} ^ * ds $$
где $$ \ epsilon '' $$ - мнимая часть комплексной диэлектрической постоянной $$ \ epsilon = \ epsilon '+ j \ epsilon' '$$. Использование теории схем $$ P_d = G \ cdot \ left | V_0 \ right | ^ 2/2 $$, тогда мы можем записать шунтирующую проводимость на единицу длины как
$$ G = \ frac { omega \ epsilon ''} ^ 2 \ int_ {S} bar {E} cdot \ bar {E} ^ * ds;;;;; S / m $$
Эти уравнения должны давать параметры линии передачи для произвольных геодезических волноводов, учитывая, что они поддерживают режимы ТЕА, являются однородными вдоль оси z (ось распространения сигнала), а решение бегущей волны является решением уравнения телеграфов, полученного в предыдущем статья.
Некоторые общие геометрии волновода представляют собой коаксиальные, двухпроводные и параллельные пластины. Чтобы сэкономить вам только что введенные вычисления, их значения для индуктивности, емкости, сопротивления и проводимости следующие:
Там, где константа комплексной диэлектрической проницаемости $$ \ epsilon = \ epsilon '+ j \ epsilon' '$$ и константа проницаемости $$ \ mu = \ mu_0 \ mu_r $$ уникальны для используемых материалов.
Учитывая, что у нас есть линия передачи в терминах элементов схемы, с которыми мы знакомы, почему бы просто не рассматривать всю линию как классификацию областей, где точность приближения линии передачи как одного сосредоточенного элемента работает точно, называется короткой и линий передачи средней длины. Это просто контрастирует, когда используемая модель должна быть моделью распределенного элемента, если линия передачи считается длинной.
Чтобы проиллюстрировать разницу между режимами аналитической обработки линии передачи, различные модели сравниваются в моделировании для увеличения длины линии. Из коротких линий в режим длинной линии анализ показывает поведение напряжения нагрузки (VL) с использованием вычислений с сосредоточенными и распределенными элементами для линии передачи без потерь (где R = G = 0). Частотная зависимость показана в виде длины линии, кратной длине волны.
В зависимости от чувствительности схемы распределенная модель для линий передачи начинает отклоняться от упрощенной модели сосредоточенных элементов между длиной линии 0, 01x и 0, 1x длиной волны сигнала. Эта симуляция использует импеданс нагрузки, близкий к импедансу линии передачи, поэтому отражения относительно малы.
Конкретное пороговое значение для допуска к переносу определяется приложением. Длинные линии электропередачи для передачи электроэнергии могут иметь более низкий допуск из-за большого количества передаваемой мощности, поэтому даже небольшие отражения могут иметь величину в сотни киловатт. В интегральных схемах небольшие чувствительные транзисторы, работающие на очень высоких частотах, будут иметь чрезвычайно малые допуски для колебаний мощности, поэтому порог будет ниже, чем в других приложениях.
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Thurs Nov 19 17:18:24 2015: Arthur """ import numpy as np import math import matplotlib.pyplot as plt # Wire Model # When does wire need to be treated as T-Line"Distributed vs Lumped Element treatment of T-Line\n$R_S $ = "+str(int(RS))+" $\Omega $, "+"$R_L $ = "+str(int(RL))+" $\Omega $, "+"$Z_0 $ = "+str(int(Zo))+" $\Omega $" # step (resolution) of inputs SCALE = 0.001 # generate inputs d = np.arange(0.001, 10+SCALE, SCALE) # Transmission line calculations GL = (RL-Zo) / (RL+Zo) num = RL + 1j*Zo*tanOfArray(d) den = Zo + 1j*RL*tanOfArray(d) Zin = Zo*(num / den) Vin = Vs*Zin / (Zin+RS) Vop = Vin / (expOfArray(d, 1) + GL * expOfArray(d, -1)) vLTL = Vop*(1.0+GL) VLTL = np.abs(vLTL) #V_Load_Transmission_Line phLTL = 180.0 * np.angle(vLTL) / math.pi #phase_Load_Transmission_line #Lumped element calculations A = -1j*Zo/(2*math.pi*d) Z1 = (RL*A) / (RL + A) Z2 = RS+2j*math.pi*Zo*d vLle = Vs * Z1 / (Z1+Z2) VLle = np.abs(vLle) # V_Load_lumped_element phle = 180 * np.angle(vLle) / math.pi #phase_load_lumped_element #generate plot fig = plt.figure() fig.suptitle(title, fontsize=30) #ax1 = fig.add_subplot(211) #used if also plotting the phase in 2nd sublot ax1 = fig.add_subplot(111) plt.semilogx(d, VLTL, d, VLle, '--k', lw=3) plt.ylabel('$V_L $ magnitude', fontsize=28) plt.grid(True) plt.legend(('T-Line model', 'Lumped Element model'), loc=3, fontsize=22) ax1.tick_params(axis='x', labelsize=20) ax1.tick_params(axis='y', labelsize=20) """ # ==================== 2nd plot unused this time =============== # generate second plot for phase ax2 = fig.add_subplot(212) plt.semilogx(d, phLTL, d, phle, '--k', lw=2) plt.axis((.01, 10, -180, 180)) g = plt.gca() g.set_yticks(range(-180, 181, 60)) plt.ylabel('VL phase (deg)', fontsize=24) plt.legend(('T-line model', 'lumped element model'), loc=3, fontsize=18) plt.xlabel('Wire length - d (in multiples of wavelength)', fontsize=28) plt.grid(True) ax2.tick_params(axis='x', labelsize=18) ax2.tick_params(axis='y', labelsize=18) """ plt.xlabel('Wire length - d (in multiples of wavelength)', fontsize=28) plt.show()
Скачать код