Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851)
Якоби должен учиться в старших классах средней школы в течение четырех лет, потому что он может окончить среднюю школу только в возрасте 16 лет.
Жак Симон Якоби, второй старший сын богатого еврейского банкира Саймона Якоби, до 11 лет брал частные уроки у дяди. Только тогда он поступает в гимназию; благодаря своим знаниям и навыкам он относится к высшему классу (Prima). Однако, поскольку он еще слишком молод, чтобы учиться в университете в конце учебного года, ему приходится посещать один и тот же класс в течение четырех лет. Его учитель математики вскоре понимает, что ему нельзя беспокоить его обычными предметами; Пока одноклассники еще занимаются азами алгебры, мальчик самостоятельно прорабатывает «Введение Эйлера в анализ бесконечности» и пытается найти общий метод решения уравнения 5.находить степени по радикалам (то есть с помощью корневых выражений). Когда ему будет 16 "Имидж", он, наконец, сможет закончить школу с отличными оценками по математике, древним языкам и истории. alt="
В Берлинском университете он посещает лекции по философии, древним языкам и математике. По математике, предмету, на котором он решает сосредоточиться через два года, практически нет лекций на более высоком уровне, так что здесь ему также приходится узнавать о текущем состоянии исследований. В 19 лет он защитил диссертацию (о разложении алгебраических дробей и преобразованиях бесконечных рядов). В то же время он сдает экзамены, дающие право преподавать математику, греческий и латинский языки в средних школах.
Как еврей, у него фактически нет перспектив найти работу учителя, но ходят слухи об особых способностях этого молодого человека. И поэтому уважаемая средняя школа Иоахимсталя предлагает ему место; Однако Якоби уже работает над своей докторской диссертацией.
В рамках реформ Харденберга в 1812 году прусский король предоставил евреям свободу поселения и гражданские права, включая право заниматься академической профессией, но они были отменены в 1822 году, и все евреи были уволены с государственной службы. Как и многие другие образованные евреи, Якоби выбрал выход: около 1825 г. он обратился в христианство (и сменил имя) - путь к карьере университетского преподавателя теперь был открыт для него. Частный лектор читает свою первую лекцию в Берлинском университете по теории поверхностей и кривых в пространстве.
Вдохновленный исследованиями Гаусса квадратичных и биквадратичных вычетов, Якоби занимается кубическими вычетами и сообщает свои результаты Гауссу. Он впечатлен и обращается к своему другу, кенигсбергскому астроному Фридриху Вильгельму Бесселю, чтобы узнать больше о 21-летнем парне, который тем временем занял вакантную должность лектора в Кенигсбергском университете.
Якоби также написал письмо Адриану-Мари Лежандру (1752 - 1833), ведущему специалисту по эллиптическим функциям, потому что у него появились новые идеи по этому поводу. Он также отмечает, что Якоби добился значительного прогресса. Однако не только Якоби давно отказался от подходов Лежандра. Норвежец Нильс Хенрик Абель также развил теорию дальше - независимо от Якоби - с аналогичными подходами.
Длина дуги эллипса с полуосями \(a, b) и числовым эксцентриситетом \(epsilon ) может быть вычислена с помощью интеграла:
\(f(x)=a \cdot \int_0^x \sqrt{1-\epsilon^2 \\cos^2(t)}\ dt), каждому центральному углу \(x) соответствует длина дуги \(f(x)). Такой интеграл нельзя вычислить в элементарных терминах, а значит, нельзя указать элементарную функцию, производная которой равна функции подынтегральной функции - значения функции \(f) можно определить только численно. Абель и Якоби исследуют свойства ассоциированной обратной функции и таким образом устанавливают теорию эллиптических функций.
В качестве альтернативы оба представляют статьи в недавно созданный журнал Crelles Journal for Pure and Applied Mathematics. Новые подходы, с одной стороны, ведут к новым идеям, с другой; в течение нескольких месяцев теория эллиптических функций получила огромное развитие. Позже в письме Лежандр пишет: «Вы так быстро продвигаетесь, господа, в своих догадках, что едва ли возможно уследить за вами, особенно для старика… Я поздравляю себя с тем, что прожил достаточно долго, чтобы стать свидетелем этого». благородное состязание между двумя молодыми, одинаково сильными спортсменами, которые отдают все свои силы тому, чтобы все дальше и дальше раздвигать границы (знаний) на благо науки.
«Благородное состязание» внезапно заканчивается ранней смертью Авеля в апреле 1829 года. В том же году Якоби опубликовал обобщающую работу Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum.
Положительные оценки Гаусса и Лежандра способствуют тому, что Якоби был назначен адъюнкт-профессором вскоре после своего 23-летия и в 27 лет получил полное профессорское звание. Благодаря отличной репутации лекций Якоби в Кенигсбергский университет приезжает все больше и больше студентов. Он имеет привычку включать в свои лекции последние результаты математических исследований. Он первым организовал семинары по математике по образцу классических предметов.
1842 Бессель и Якоби, представляющие Пруссию, присутствуют на конгрессе Британской ассоциации развития науки в Манчестере. Там же он познакомился с ирландским астрономом и математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном, результатом чего стал ряд будущих работ Якоби по механике планетарной системы. На обратном пути через Париж Якоби читает лекцию в Академии наук. Он на пике своей славы.
Когда в 1843 году у него диагностируют диабет, врач рекомендует ему выздороветь в районе с более мягким климатом. Однако Якоби не в состоянии профинансировать такое пребывание - унаследованные активы были потеряны из-за банкротства банка. Александр фон Гумбольдт, с которым Якоби ведет переписку с 1828 года, поддерживает его прошение к прусскому королю, и поэтому он может отправиться в Италию - его сопровождает Дирихле, с которым он подружился. В мягком итальянском климате он заметно поправился и снова начал заниматься научной деятельностью. В Риме он углубился в «Арифметику» Диофанта, хранящуюся в архивах Ватикана.
Якоби, которого явно устраивает изменение климата, не хочет возвращаться в Кенигсберг. В знак признания его заслуг прусский король соглашается на переезд в Берлин (в сочетании с повышением жалованья - из-за более высокой стоимости жизни в большом городе - и доплатой из-за ожидаемых медицинских расходов). Как член Прусской академии наук он имеет право, но не обязан читать лекции.
Во время революции 1848 года Якоби выступил с политической речью в Конституционном клубе Либеральной партии, оттолкнув как монархистов, так и республиканцев. После подавления революционного движения его заявление об официальном переводе в Берлинский университет было отклонено. Кроме того, тот, кто показал себя неблагодарным своему королю, будет лишен жалованья. Якоби больше не может позволить себе жить в Берлине; друг забирает его и его семью в дом в Готе (герцогство Саксен-Кобург-Гота).
Только когда Ябоби предложили должность профессора в Венском университете, прусское правительство поняло, что самый известный математик Европы после Гаусса собирается покинуть страну. Чтобы избежать такого конфуза, ему сейчас предлагают постоянную должность в Берлине. Однако он может навестить свою жену и семерых детей, которые продолжают жить в Готе, только во время семестровых каникул.
В январе 1851 года он заболел простудой и, прежде чем смог оправиться от болезни, заболел оспой. Он умер через несколько дней в возрасте всего 46 лет. На церемонии поминовения Академии наук Дирихле воздал должное делу всей жизни покойного и сравнил его с творчеством Эйлера: со 180 публикациями Якоби не идет ни в какое сравнение с более чем 800 сочинениями Эйлера, но чего еще можно было ожидать от Якоби, если бы он был так долго, как жил бы Эйлер (1707 - 1783)!
Как и Эйлер, Якоби написал важные работы в самых разных областях: он достиг важных результатов в развитии теории дифференциальных уравнений, в вариационном исчислении (из изучения эффектов малых изменений делаются выводы об экстремумах), в дифференциальной геометрии (например, определение геодезических линий на эллипсоидах), в аналитической механике.
Имя Якобиса до сих пор используется во многих терминах, например, в матрице Якоби (определение объема и поверхности в многомерных пространствах) или в методе Якоби (дальнейшее развитие алгоритма Гаусса для решения систем линейных уравнений), Якоби начал серию публикаций по теории чисел с исследований кубических остатков, затем продолжил дополнениями к теореме Лагранжа о четырех квадратах. В 1770 году он доказал теорему о том, что каждое натуральное число можно представить в виде суммы не более чем четырех квадратных чисел.
Ферма уже обнаружил, что каждое простое число \(p), которое дает остаток 1 при делении на 4 ((p \equiv 1\ \text{mod}\ 4)) как сумма два квадратных числа. Якоби выводит предложение из этого:
Натуральное число \(n) может быть представлено в виде суммы двух квадратных чисел тогда и только тогда, когда простые делители \(p) числа \(n), которые оставляют остаток 3 при делении на 4, часто встречаются четные числа.
Легандр нашел критерий, при котором натуральное число можно представить в виде суммы не более чем трех квадратных чисел. Среди натуральных чисел, для которых в качестве слагаемых на самом деле нужны четыре квадратных числа, есть и такие, для которых можно указать несколько представлений, например Например, \(28) можно записать как \(4^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2), так и как \(3^2 + 3^2 + 3^2 + 1^2).); число \(55) тремя способами: \(7^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2) и \(5^2 + 5^2 + 2^2 + 1^2) и \(6^2 + 3^2 + 3^2 + 1^2); для \(87) есть четыре варианта отображения \(9^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2) и \(7^2 + 6^2 + 1^2 + 1^2) и \(7^2 + 5^2 + 3^2 + 2^2) и \(6^2 + 5^2 + 5^2 + 1^2.)
Используя эллиптические функции, Якоби доказывает формулу, с помощью которой можно определить число \(r(n)) возможных представлений натурального числа \(n) в виде упорядоченной суммы квадратов четырех целых чисел (т.е. включая все перестановки порядка и принимая во внимание разные знаки):
Если \(n) делится на \(4), то: \(r(n)=8 \cdot \sigma(n) - 32 \cdot \sigma(frac{1 }{ 4 } п)). Если \(n) не делится на \(4), то: \(r(n)=8 \cdot \sigma(n)). \(sigma(n)) равно сумме всех делителей \(n). (теорема Якоби)
В то время как Эйлер в равной степени занимался проблемами прикладной и чистой математики, Якоби сосредоточился на чистой математике - согласно его первому тезису инаугурационной лекции в Кенигсберге: Mathesis est scientia eorum, quae per se clara sunt. (Математика - это наука о вещах, которые ясны сами по себе.)