Фазовый ответ в активных фильтрах: ответ на полосу пропускания
Хотя фильтры сконструированы в основном для их амплитудного отклика, фазовый отклик может быть важным в некоторых приложениях.
Введение
В первой статье этой серии я рассмотрел взаимосвязь фазы фильтра с топологией реализации фильтра. Во второй статье я рассмотрел фазовый сдвиг функции передачи фильтра для низкочастотных и высокочастотных ответов. Эта статья будет посвящена анализу полосы пропускания. Хотя фильтры сконструированы в основном для их амплитудного отклика, фазовый отклик может быть важным в некоторых приложениях.
Для целей обзора передаточная функция активного фильтра фактически является каскадом функции передачи фильтра и функцией передачи усилителя (см. Рисунок 1).
Рисунок 1. Фильтр как каскад двух передаточных функций
Функция передачи полосы пропускания
Изменение числителя прототипа нижних частот на
преобразует фильтр в полосу пропускания. Это приведет к нулю в передаточной функции. Член s в числителе дает нам нуль, а член s в числителе дает нам полюс. Ноль даст нарастающий ответ с частотой, в то время как полюс даст падающий ответ с частотой.
Передаточная функция полосового фильтра второго порядка:
ω0 здесь - частота (F0 = 2 π ω0), при которой коэффициент усиления фильтра достигает максимума.
H0 - коэффициент усиления цепи (Q) и определяется как:
где H - коэффициент усиления реализации фильтра.
Q имеет особое значение для полосы пропускания. Это селективность фильтра. Он определяется как:
где FL и FH - частоты, где отклик составляет -3 дБ от максимума.
Полоса пропускания (BW) фильтра описывается как:
Можно показать, что резонансная частота (F0) является геометрическим средним FL и FH, что означает, что F0 будет отображаться на полпути между FL и FH в логарифмическом масштабе.
Также обратите внимание, что юбки полосы пропускания всегда будут симметричными относительно F0 по логарифмической шкале.
Амплитудный отклик полосового фильтра на различные значения Q показан на рисунке 2. На этом рисунке коэффициент усиления на центральной частоте нормализуется до 1 (0 дБ).
Рисунок 2. Нормализованный амплитудный отклик фильтра полосового фильтра
Опять же, эта статья в основном касается фазового ответа, но полезно иметь представление об амплитудной характеристике фильтра.
Здесь должно быть предостережение. Полосовые фильтры могут быть определены двумя различными способами. Узкополосный случай - это классическое определение, которое мы показали выше. Однако в некоторых случаях, если высокие и низкие частоты среза широко разнесены, полосовой фильтр построен из отдельных секций верхних и нижних частот. Широко разделенный, в этом контексте, означает разделение по меньшей мере на две октавы (× 4 по частоте). Это широкополосный случай. В первую очередь речь идет о узкополосном случае для этой статьи. Для широкополосного случая оцените фильтр как отдельные секции верхних и нижних частот.
В то время как полосовой фильтр может быть определен в терминах стандартных ответов, таких как Баттерворт, Бессел или Чебышев, они также обычно определяются их Q и F0.
Фазовый отклик полосового фильтра:
Обратите внимание, что нет такой вещи, как однополюсный полосовой фильтр.
Рисунок 3. Нормализованный фазовый отклик фильтра полосового фильтра
Рисунок 3 оценивает уравнение 6 с двух десятилетий ниже центральной частоты до двух десятилетий выше центральной частоты. Центральная частота имеет фазовый сдвиг 0 °. Центральная частота равна 1, а Q - 0, 707. Это то же самое, что и в предыдущей статье, хотя в этой статье мы использовали α. Помните α = 1 / Q.
Инспекция показывает, что форма этой кривой в основном такая же, как у нижнего прохода (и высокого прохода в этом отношении). В этом случае, однако, сдвиг фазы составляет от 90 °, ниже центральной частоты до 0 ° на центральной частоте до -90 ° выше центральной частоты.
На рисунке 4 мы рассмотрим фазовый отклик полосового фильтра с переменным Q. Если мы посмотрим на передаточную функцию, мы увидим, что изменение фазы может происходить в относительно большом частотном диапазоне и что диапазон изменение обратно пропорционально Q схемы. Опять же, проверка показывает, что кривые имеют ту же форму, что и для низкочастотного (и высокочастотного) откликов, только с другим диапазоном.
Рисунок 4. Нормализованный фазовый отклик фильтра полос пропускания с переменным Q
Функция передачи усилителя
В предыдущих параграфах показано, что передаточная функция в основном относится к однополюсному фильтру. Хотя фазовый сдвиг усилителя обычно игнорируется, он может влиять на общую передачу композитного фильтра. AD822 был произвольно выбран для использования в симуляциях фильтров в этой статье. Было выбрано частично, чтобы минимизировать влияние на функцию передачи фильтра. Это связано с тем, что фазовый сдвиг усилителя значительно выше по частоте, чем угловая частота самого фильтра. Передаточная функция AD822 показана на рисунке 5, которая представляет собой информацию, взятую непосредственно из листа данных.
Рисунок 5. AD822 bode plot gain и phase
Пример 1: 1 кГц, 2-полюсный полосовой фильтр с Q = 20
Первым примером будет фильтр, созданный как полоса пропускания с самого начала. Мы произвольно выбираем центральную частоту 1 кГц и Q из 20. Так как Q находится на более высокой стороне, мы будем использовать конфигурацию полос пропускания двойного усилителя (DABP). Опять же, это произвольный выбор.
Мы используем расчетные уравнения из ссылки 1. Результирующая схема показана на рисунке 6:
Рисунок 6. 1 кГц, Q = 20 DABP полосовой фильтр
В первую очередь речь идет о фазе в этой статье, но я считаю полезным рассмотреть амплитудный отклик.
Рисунок 7. Амплитудный отклик фильтра полосового фильтра DABP 1 кГц, Q = 20
Мы видим фазовый ответ на рисунке 8:
Рисунок 8. 1 кГц, Q = 20 фазовый ответ фильтра полосового фильтра DABP
Обратите внимание, что конфигурация DABP неинвертируется. Рисунок 8 соответствует рис. 3.
Пример 2: 1 кГц, 3-полюс 0, 5 дБ Чебышевского преобразования нижних частот в полосовое преобразование
Теория фильтров основана на прототипе с низким проходом, который затем можно манипулировать другими формами. В этом примере прототипом, который будет использоваться, является 1 кГц, 3-полюсный, 0, 5 дБ чебышевский фильтр. Был выбран фильтр Чебышева, потому что он показал бы более четко, если бы ответы были неверными. Например, рябь в полосе пропускания не выстраивалась в линию. Фильтр Баттерворта, вероятно, слишком прост в этом случае. 3-полюсный фильтр был выбран так, чтобы полюсная пара и один полюс были преобразованы.
Расположение полюсов для прототипа LP (из ссылки 1):
Первый этап - пара полюсов, а вторая ступень - однополюсный. Обратите внимание на неудачное соглашение об использовании α для двух совершенно отдельных параметров. Α и β слева - это полюсные положения в плоскости s. Это значения, которые используются в алгоритмах преобразования. Α справа - 1 / Q, что и хотят видеть уравнения проектирования для физических фильтров.
Прототип низкого прохода теперь преобразуется в полосовой фильтр. Строка уравнения, приведенная в ссылке 1, используется для преобразования. Каждый полюс прототипа фильтра превращается в пару полюсов. Следовательно, трехполюсный прототип, когда он трансформируется, будет иметь шесть полюсов (3-полюсные пары). Кроме того, в начале будет шесть нулей. Нет такой вещи, как однополюсный полосовой проход.
Часть процесса преобразования состоит в том, чтобы определить ширину полосы 3 дБ в результирующем фильтре. В этом случае эта ширина полосы будет установлена на 500 Гц. Результаты преобразования дают:
На практике было бы полезно поставить более низкий коэффициент усиления, нижний раздел Q сначала в строке, чтобы максимизировать обработку уровня сигнала. Причиной требования усиления для первых двух этапов является то, что их центральные частоты будут ослаблены относительно центральной частоты общего фильтра (то есть они будут на юбке других секций).
Поскольку результирующие Qs являются умеренными (менее 20), будет выбрана топология с множественной обратной связью. Для проектирования фильтра используются расчетные уравнения для полосового фильтра с множественной обратной связью по ссылке 1. На рисунке 9 показана схема самого фильтра.
Рисунок 9. 1 кГц, 6-полюсный, 0, 5 дБ Чебышевского полосового фильтра. Полноразмерное изображение здесь
На рисунке 10 мы рассмотрим фазовый сдвиг полного фильтра. На графике показан сдвиг фазы только первого раздела (раздел 1), первых двух разделов (раздел 2) и полного фильтра (раздел 3). Они показывают фазовый сдвиг «реальных» участков фильтра, включая фазовый сдвиг усилителя и инверсию топологии фильтра.
На рисунке 10 есть пара деталей. Во-первых, фазовый ответ является кумулятивным. В первом разделе показано изменение фазы на 180 ° (фазовый сдвиг функции фильтра, без учета фазового сдвига топологии фильтра). Во втором разделе показано изменение фазы на 360 ° из-за наличия двух секций, 180 ° от каждой из двух секций. Помните, что 360 ° = 0 °. И третий раздел показывает 540 ° фазового сдвига, 180 ° от каждой из секций. Также обратите внимание, что на частотах выше 10 кГц мы немного слабо наблюдаем скачок фазы из-за реакции усилителя. Мы видим, что спад снова является кумулятивным, увеличиваясь для каждой секции.
Рисунок 10. Фазовая характеристика полоскового фильтра на частоте 1 кГц, 6 полюсов, 0, 5 дБ Чебышева
На рисунке 11 мы видим амплитудный отклик полного фильтра.
Рисунок 11. Амплитудный отклик полосового фильтра Чебышева с частотой 1 кГц, 6 полюсов
Вывод
В данной статье рассматривается фазовый сдвиг полосовых фильтров. В предыдущих статьях этой серии мы рассмотрели фазовый сдвиг относительно топологии фильтра и топологий верхних и нижних частот. В будущих статьях мы рассмотрим фильтры с надрезами и сквозными фильтрами. В заключительной части мы свяжем все это вместе и рассмотрим, как фазовый сдвиг влияет на переходный отклик фильтра, глядя на групповую задержку, импульсный отклик и ответ шага, а также то, что это означает для сигнала.
Дальнейшее чтение
Эта статья была первоначально опубликована в Analog Dialogue. Посетите их веб-сайт, чтобы просмотреть дополнительные технические статьи.
Рекомендации
Дарьянани, Г. Принципы активного сетевого синтеза и дизайна. John Wiley & Sons, 1976.
Graeme, J., G. Tobey и L. Huelsman. Разработка и применение операционных усилителей. McGraw-Hill, 1971.
Ван Валкенбург, Мак. Конструкция аналогового фильтра. Холт, Ринехарт и Уинстон, 1982.
Уильямс, Артур Б. Электронный дизайн. McGraw-Hill, 1981.
Zumbahlen, Хэнк. Основной линейный дизайн. Глава 8. Analog Devices, Inc, 2006.
Zumbahlen, Хэнк. «Глава 5: Аналоговые фильтры». Справочник по операционным усилителям. Newnes-Elsevier, 2006.
Zumbahlen, Хэнк. Справочник по линейному контуру. Newnes-Elsevier, 2008.
Zumbahlen, Хэнк. «Фазовые отношения в активных фильтрах». Analog Dialogue, том 41, 2007
Зверев, Анатолий I. Справочник по синтезу фильтра. John Wiley & Sons, 1967.
Отраслевые статьи - это форма контента, которая позволяет отраслевым партнерам делиться полезными новостями, сообщениями и технологиями с читателями All About Circuits таким образом, что редакционный контент не очень подходит. Все отраслевые статьи подчиняются строгим редакционным правилам с целью предоставления читателям полезных новостей, технических знаний или историй. Точки зрения и мнения, выраженные в отраслевых статьях, являются точками партнера, а не обязательно для All About Circuits или его авторов.