Фракталы помогают моделировать неприятные проблемы в науках о Земле
В области математики совершенства предостаточно. Линии тянутся прямо в бесконечность, плоскости безупречно плоские, а сферы безупречно круглые. Однако реальный мир почти всегда неправилен - зазубренное копье молнии, шероховатая поверхность разбитой скалы и неровный профиль горного хребта - вот лишь несколько примеров. Хотя людей всегда окружала текстура, до недавнего времени они не могли описать ее иначе, как качественными терминами, такими как гладкая, шероховатая или комковатая. Спустя долгое время после того, как ученые разработали способы измерения физических свойств, таких как температура, вес и время, методы, необходимые для количественной оценки шероховатости, ускользали от них.
Затем появились фракталы.
До того, как в 1960-х годах были разработаны эти математические инструменты, ученые обычно представляли физический мир, используя только три измерения. Линии занимают одно измерение; самолеты, два; и кубики, три.
Но фракталы освободили ученых от тирании целочисленных измерений и позволили им описывать объекты, используя дробные измерения.
Такие изображения объектов не только показывают шероховатость и неравномерность, они делают это во всем диапазоне масштаба. При ближайшем рассмотрении зубчатой нефрактальной линии видно, что она состоит из маленьких прямых сегментов. Но для фрактальной линии - скажем, для 1,3-мерной линии - вид издалека будет таким же, как и для крупного плана. Каждый сегмент будет иметь одинаковую степень шероховатости независимо от масштаба, в котором он просматривается. Точно так же микроскопический взгляд на камень с цифрой 2.7-мерная поверхность будет отображать ту же текстуру, что и вид скалы в телескоп с тем же дробным размером.
Фракталы - это не просто математические абстракции, они появляются повсюду в естественном и рукотворном мире. Они проявляются в завихрениях на поверхности текущей жидкости (SN: 23.01.93, стр. 53) и пятнистой мозаике городской застройки (SN: 06.01.96, стр. 8).
Ученые использовали фракталы для анализа всех видов нерегулярных объектов или явлений, от колебаний на фондовом рынке до частоты стихийных бедствий, говорит Дональд Л. Теркотт, геофизик из Корнельского университета. Одним из первых применений фракталов в науках о Земле было простое описание неровностей береговой линии Британии. Сегодня исследователи применяют фракталы к широкому кругу тем - вероятности лесных пожаров, а также распространения токсичных жидкостей через камни и почву.
Стихийные бедствия
Землетрясения, лесные пожары и другие крупномасштабные явления находятся в центре внимания многих фрактальных анализов. Отношение между частотой и магнитудой землетрясений является фрактальным, отмечает Теркотт. Когда исследователи наносят эти две величины на логарифмический график, точки данных ложатся на прямую. В таком соответствии между двумя величинами, называемом степенной зависимостью, наклон этой линии представляет собой экспоненциальную степень, которую можно использовать как фрактальную размерность. Фрактальные уравнения позволяют ученым легче разрабатывать компьютерные модели для моделирования частоты землетрясений.
Ученые впервые заметили степенную зависимость между частотой и магнитудой землетрясений в 1950-х годах - задолго до того, как были изобретены фракталы, - говорит Брюс Д. Маламуд, математик из Королевского колледжа в Лондоне. Соотношение справедливо для землетрясений почти всех размеров.
Совсем недавно Маламуд и его коллеги показали, что между частотой и размером лесных пожаров существует степенная зависимость. Исследователи обнаружили, что фрактальная взаимосвязь сохраняется для четырех разных наборов данных о лесных пожарах, даже несмотря на то, что наборы были составлены для областей мира, радикально различающихся по рельефу и растительности. Маламуд говорит, что постоянная взаимосвязь между размером и частотой лесных пожаров - даже для таких коротких периодов времени, как 2 года - дает персоналу по управлению опасностями возможность использовать ограниченные объемы данных для прогнозирования вероятности возникновения лесных пожаров разного масштаба в районе..
Ученые теперь подразделяют четыре набора данных о лесных пожарах, чтобы увидеть, меняет ли вмешательство - либо тушение пожаров до того, как они угаснут естественным путем, либо устраивание профилактических пожаров для удаления засохших кустарников - взаимосвязь между размером и частотой возгораний. По словам Маламуда, новый анализ может показать, влияют ли определенные правила пожаротушения неожиданным образом на местонахождение и интенсивность лесных пожаров.
Фрактальные переломы
Многие явления, связанные с разрушением горных пород и минералов, от крошечных частиц вулканического пепла до больших блоков земной коры, которые скребутся друг о друга во время землетрясений, можно описать или смоделировать с помощью фракталов. К северу от Лос-Анджелеса две стороны разлома Сан-Габриэль сжаты 6-метровым слоем пылевидного материала. По словам Чарльза Г. Сэммиса, геофизика из Университета Южной Калифорнии в Лос-Анджелесе, эту дробленую породу, называемую выемкой, можно найти между поверхностями многих разломов.
Степенная зависимость между количеством и размером частиц, от крупных камней до мелкого минерального песка, имеет фрактальную размерность 1,6, отмечает Сэммис. Другими словами, куски породы с площадью поперечного сечения 1,6 единицы встречаются примерно на одну десятую реже, чем куски с площадью поперечного сечения 1 единица.
Эта фрактальная взаимосвязь сохраняется в широком диапазоне размеров частиц, добавляет он.
По словам Саммиса, Выемка формируется в начале жизни разлома. Напряжения передаются с одной стороны разлома на другую через перемычки крупных камней. Когда напряжение вдоль разлома достаточно велико, чтобы разрушить частицы выемки, оно разрушает только те, которые несут нагрузку. По мере того, как нагрузка смещается на новые мосты, эти породы разрушаются, и обломки постепенно измельчаются во все более мелкие зерна, сохраняя при этом распределение по размерам с фрактальной размерностью 1,6.
Компьютерные модели, имитирующие частицы горной породы, захваченные движущимся разломом, а также лабораторные испытания с гранулами гранитного щебня также генерируют распределение частиц по размерам с фрактальной размерностью 1,6. Это конкретное значение интересно, объясняет Сэммис, потому что оно, кажется, отмечает точку перехода для поведения разломов. При значениях больше или меньше 1,6 выемка не передает напряжение через разлом, потому что мосты не образуются. В этих случаях два лица разлома скользят друг мимо друга, не вызывая землетрясения. Однако, когда значение равно 1,6, скальные перемычки блокируют разлом, и напряжение накапливается до тех пор, пока не произойдет землетрясение.
Многие другие характеристики трещиноватой породы являются фракталами, отмечает Кристофер С. Бартон, геофизик из Геологической службы США в Санкт-Петербурге, штат Флорида. Например, соотношение между количеством и длиной трещин во многих типах горных пород следует фрактальной степенной зависимости в масштабах, которые варьируются от длинных трещин до Земная кора вплоть до микроскопических трещин в мелких камнях.
Течет сквозь скалу
Ученые разработали компьютерные модели, использующие фракталы для имитации движения жидкостей через проницаемую горную породу, такую как известняк. Рина Шумер, гидролог из Исследовательского института пустыни в Рино, штат Невада, и ее коллеги моделируют распространение жидкости через трещиноватую и пористую породу. Пористость горных пород - процент объема материала, занимаемый пространством между твердыми зернами, - может быть легко выражена в виде фрактальной размерности.
Проведя всего несколько измерений характеристик горных пород и почвы вблизи места разлива токсичного вещества, такого как, например, утечка топлива, исследователи могут использовать фракталы для оценки направлений и скоростей, с которыми жидкость будет двигаться. путешествовать по окружающей земле. Эта информация может быть полезна персоналу аварийно-спасательных служб, а в конечном итоге может помочь правительственным чиновникам разработать планы по защите водоносных горизонтов от разливов.
Модели, использующие фракталы для имитации наличия трещин в пористой породе, могут дать лучшие ответы, чем те, которые предполагают, что порода не имеет трещин. Например, ученые Министерства энергетики моделируют потенциальное просачивание жидкостей из Невадского горного проекта Юкка - подземного хранилища, предназначенного для хранения радиоактивных отходов с атомных станций (СН: 19.01.02, стр. 39: Чиновник выбирает Неваду для ядерных отходов).) - по оценкам, в случае утечки первые следы испорченной жидкости достигнут 5 километров от места утечки примерно через 1000 лет. Однако этот анализ предполагает, что отходы просто просачиваются сквозь нетрещиноватую породу, говорит Дэвид Т. Перванс, гидрогеолог из HydroOhm Environmental Geophysics в Рино.
Фрактальный анализ, учитывающий влияние трещин в породе, предсказывает гораздо более быстрое перемещение жидких радиоактивных отходов. Модель, в которой используется ранее измеренное распределение размеров трещин в областях так называемого трещиноватого спаянного туфа - потрескавшейся пористой породы, состоящей из частиц вулканического пепла, сплавившихся вместе под действием сильной жары и высокого давления, - оценивает, что разлитые отходы могут перемещаться. расстояние 5 км всего за 200 лет.
Вулканические измерения
Хотя шероховатость стеклообразных частиц, выбрасываемых вулканической активностью, не сохраняет одну и ту же фрактальную размерность во всех масштабах, измерение этого параметра частиц пепла, тем не менее, может помочь ученым проанализировать характер извержений вулканов в прошлом. Антон Х. Мария и Стивен Н. Кэри, оба вулканологи из Университета Род-Айленда в Наррагансетте, изучали пепел, выброшенный в результате пяти различных извержений, в том числе глубоководных.
Исследователи обнаружили, что комбинация фрактальных размеров частиц пепла, измеренных в двух разных масштабах, позволила им различать извержения. Шероховатость поверхности пепла в более крупном масштабе была связана с обилием крупных пузырей в расплавленной породе, извергавшейся из вулкана. Взрывная сила извержения расколола породу вдоль этих пузырей, оставив мелкие частицы с рваными краями. В меньших масштабах шероховатость частиц золы была связана с обилием мелких пузырьков, попавших в материал при его охлаждении. По словам Марии, эти два фактора объясняют более 90 процентов различий между частицами пепла от пяти извержений.
Размер пузырьков в частицах вулканического пепла, по-видимому, зависит от нескольких факторов, в том числе от типа и количества газов, сопровождавших извержение, а также от того, было ли извержение взрывным или относительно спокойным. Частицы пепла от извержений на суше, когда облако пепла выбрасывалось прямо в воздух, обычно имеют фрактальные размеры, отличные от тех, которые образуются при подводной вулканической активности.
Эти различия особенно важны, потому что они могут помочь ученым проследить долговременную историю вулканов в районах, где письменных источников мало, если они вообще есть, говорит Мария. Анализируя частицы из разных слоев пепла в длинной последовательности извержений, исследователи могли бы определить, были ли все извержения вулканов взрывными или сильные извержения чередовались с более спокойными извержениями пепла.