Анализ схем посредством трансформации источника
В этой статье используются примеры, чтобы объяснить технику преобразования источника.
Справочное исследование
Электрическая сеть может состоять из источников и пассивных элементов. Источники - это компоненты схемы, которые обладают собственной энергией и способны передавать эту энергию другим элементам схемы.
Существует два основных типа источников: источники напряжения и источники тока. Они могут быть классифицированы как независимые или зависимые. В случае независимых источников напряжение или ток фиксированы. Если источник зависит, значение напряжения или тока зависит от величины тока или напряжения в другом месте цепи.
Пассивные компоненты не имеют собственной энергии. В результате этого они рассматриваются как поглотители. Однако они влияют на величину тока или напряжения в заданной части схемы. Резисторами, конденсаторами и индукторами являются пассивные компоненты.
Анализ электрических сетей
Сложность электрических сетей колеблется от очень простого, например, делителя напряжения, до очень сложной, например, внутренней структуры интегральной схемы (ИС).
Ожидается, что хороший инженер-электрик будет иметь полное знание всей системы, независимо от ее сложности. Это абсолютно необходимо, когда возникает проблема обновления или устранения неполадок системы.
На этом этапе важно отметить, что анализ электрической схемы иногда бывает простым и простым, всего за пару минут. Иногда, однако, это может потребовать много работы (а точнее, умной работы), и это может даже заставить анализатор прибегнуть к помощи со стороны программного обеспечения. Тем не менее, метод анализа основан на некоторых основных правилах и теоремах.
Вот список важных теорем и краткое объяснение:
- Теорема суперпозиции: помогает найти ток и напряжение в цепи, имеющей несколько источников; эффекты, получаемые каждым из источников по отдельности, могут быть суммированы.
- Теорема Тевена: помощь в упрощении схемы; множественные источники и сопротивления могут быть представлены эквивалентной схемой с единственным источником напряжения и одним резистором.
- Теорема Нортона: помощь в упрощении схемы; множественные источники и сопротивления могут быть представлены эквивалентной схемой с единственным источником тока и единственным резистором.
- Теорема Мильмана: метод упрощения, включающий схемы с параллельными ветвями.
На этом этапе следует отметить, что все эти теоремы основаны на основных правилах, относящихся к области электроники, а именно: Закон Ома и законы Киршоффа.
Кроме того, иногда мы можем найти схему, в которой есть резисторы, подключенные либо в конфигурации delta / pi, либо в виде звезды / Y / T. В таких случаях при анализе схемы мы можем использовать преобразование звезда-треугольник или дельта-звезда.
Трансформация источника для независимых источников
Рассмотрим схему, показанную на рисунке 1; цель состоит в том, чтобы найти ток (обозначенный i) через центральный резистор 5 Ом. Здесь анализ сетки (Закон напряженности Киршоффа, KVL) не может быть применен легко, потому что схема имеет ветвь, которая имеет источник тока. Таким образом, нам необходимо разработать метод, с помощью которого мы можем устранить этот источник тока из нашей схемы. Однако при этом нам нужно следить за тем, чтобы ток и напряжения в цепи оставались неизменными.
Рисунок 1
Вспомните Закон Ома, в котором говорится, что $$ I = \ frac {V} {R} $$.
Шаг 1: Преобразование источника тока в напряжение
Оглядываясь назад на схему (рис. 1), мы видим, что источник тока 1 А имеет резистор 10 Ом параллельно с ним. Теперь заменим эту комбинацию на источник напряжения V = 1 A × 10 Ω = 10 V и резистор серии 10 Ω. Вы можете видеть, как это выглядит на рисунке 2. Обратите внимание, что положительная клемма источника напряжения находится слева, потому что стрелка источника тока указывала влево. Эти две схемы (рис. 1 и рис. 2) считаются эквивалентными: текущий входной узел X A из узла Y не изменился.
фигура 2
Процесс, выполняемый здесь, называется преобразованием источника. Мы преобразовали существующий источник тока с параллельным резистором в эквивалентный источник напряжения с последовательным резистором.
Шаг 2: Преобразование источника напряжения в ток
Схема на рисунке 2 может быть дополнительно упрощена, так как она имеет резистор 10 Ом последовательно с резистором 5 Ом. Их можно заменить эквивалентным резистором 15 Ом (= 10 Ом + 5 Ом). Упрощенная схема показана на рисунке 3 (а).
Теперь мы можем легко применить анализ сетки для решения стоящей перед нами задачи. Тем не менее, есть гораздо более простой графический способ достижения этого: снова применить преобразование источника!
Ранее мы преобразовали источник тока с параллельным резистором, но мы также можем применить преобразование источника к источнику напряжения с последовательным резистором. У нас есть две такие меры, как показано на рисунке 3 (b). Эта схема эквивалентна схеме, показанной на рисунке 3 (a).
Рисунок 3
Поэтому здесь мы будем применять преобразование источника напряжения в ток, которое очень похоже на преобразование источника тока в напряжение. Процесс включает в себя замену источника напряжения V последовательно резистором R с эквивалентной сетью, которая имеет источник тока $$ I = \ frac {V} {R} $$ параллельно с резистором R. Источник тока ориентирован таким образом что стрелка указывает на положительный вывод заменяемого источника напряжения (см. рис. 4).
Таким образом, для самой левой ветви мы имеем источник тока $$ I = \ frac {10} {5} = 2 \ A $$ параллельно с резистором 5 Ом. Аналогично, для самой правой ветви мы получаем $$ I = \ frac {10} {15} = \ frac {2} {3} A $$ параллельно с резистором 15 Ом. Результирующая схема показана на рисунке 4.
Схема на рисунке 4 имеет два источника тока, указывающих в одном направлении, и, следовательно, их можно заменить на один источник тока, значение которого равно их сумме, т. Е. $$ \ frac {8} {3} A $$,
Рисунок 4
Есть три резистора: два резистора 5 Ом и один резистор 15 Ом, все параллельно. Мы могли бы заменить все три из них эквивалентным сопротивлением (R EQ), но наша цель - найти ток через резистор 5 Ом, поэтому мы будем комбинировать только два других.
$$ R_ {EQ} = \ frac {5 × 15} {5 + 15} = \ frac {5 × 15} {20} = \ frac {15} {4} \ Omega $$
Сделав эти изменения, мы получим схему, показанную на рисунке 5.
Рисунок 5
Шаг 3: Преобразование источника тока в напряжение (снова)
Теперь применим преобразование источника тока к напряжению снова для комбинации, показанной на рисунке 5.
Здесь источник напряжения будет иметь значение $$ V = \ frac {8} {3} times \ frac {15} {4} = 10 \ V $$, с положительным терминалом к узлу X, последовательно с резистор $$ \ frac {15} {4} \ Omega $$.
Результирующая схема показана на рисунке 6.
Рисунок 6
На рисунке 6 мы можем легко применить KVL для получения тока через резистор 5 Ом:
$$ 10 - \ frac {15} {4} i - 5i = 0 $$
$$ 10 - \ frac {35} {4} i = 0 $$
$$ 10 = \ frac {35} {4} i $$
$$ i = 10 \ times \ frac {4} {35} = \ frac {8} {7} A $$
Трансформация источника для зависимых источников
Преобразование источника применимо даже для схем, имеющих зависимые источники. Рассмотрим схему, показанную на рис. 7 (а).
Здесь перед применением преобразования источника необходимо обратиться к сдвигу источника для источника тока 3 А. Это дает схему, показанную на рисунке 7 (b).
Рисунок 7
Шаг 1: Преобразование источника тока в напряжение
Теперь применим преобразование источника тока к напряжению для элементов схемы, указанных на рисунке 7 (b).
Для верхней части мы имеем V = 3 × 1 = 3 В, а положительный вывод ориентирован вниз, последовательно с резистором 1 Ом. Аналогично, для нижней части получаем V = 3 × 2 = 6 V, ориентированные вниз, последовательно с резистором 2 Ω. Это приводит к схеме, показанной на рисунке 8 (а).
Рисунок 8
Схема может быть дополнительно уменьшена: верхняя сетка имеет резистор 1 Ом последовательно с 2 Ом резистором, образуя эквивалентное сопротивление 3 Ом, а нижняя сетка имеет резистор 2 Ом последовательно с резистором 3 Ом, который может заменить на один резистор 5 Ом. Это приводит к схеме, показанной на рисунке 8 (b).
Шаг 2: Преобразование источника напряжения в ток
Посмотрев на рис. 8 (б), вы можете видеть, что нам нужно применять преобразование источника напряжения в ток три раза (один раз для каждой комбинации с источником-резистором).
Случай 1: для источника 3 В в серии с 3 Ом
$$ I = \ frac {3} {3} = 1 \ A $$ параллельно с резистором 3 Ом, направленным влево.
Случай 2: для 5i 1 зависимого источника напряжения в серии с 5 Ω
$$ I = \ frac {5i_ {1}} {5} = 1i_ {1} A $$ параллельно с резистором 5 Ом, направленным вправо.
Случай 3: для источника 6 В в серии с 5 Ом
$$ I = \ frac {6} {5} A $$ параллельно с резистором 5 Ом, направленным вправо.
Эти шаги приводят к схеме, показанной на рисунке 9.
Рисунок 9
Здесь два независимых источника тока ориентированы в противоположных направлениях и поэтому могут быть заменены одним источником тока, значение которого задается значением $$ I = \ frac {6} {5} -1 = \ frac {1} {5} A $$, направленный вправо.
Затем мы можем выразить значение зависимого источника тока как $$ I = \ frac {1} {5} + 1i_ {1} = \ frac {1 + 5i_ {1}} {5} A $$, в направлении право.
Нам нужно найти ток, протекающий через резистор 5 Ом (тот, что посередине). Поэтому мы оставим его как есть и заменим два других (т. Е. Резисторы 3 Ом и 5 Ом сверху и снизу) с эквивалентным сопротивлением: R = 5 || 3 = $$ \ frac {5 \ times 3} {5 + 3} = \ frac {15} {8} \ Omega $$.
Теперь схема может быть изображена следующим образом:
Рисунок 10
Шаг 3: Преобразование источника тока в напряжение (снова)
Наконец, мы можем преобразовать зависимый источник тока в зависимый источник напряжения со значением
$$ V '= \ frac {1 + 5i_1} {5} × \ frac {15} {8} = \ frac {3 + 15i_1} {8} V $$
Это будет последовательно с резистором $$ \ frac {15} {8} \ Omega $$ и будет иметь положительный вывод вправо.
Рисунок 11
Теперь KVL можно использовать для вычисления i 1:
$$ \ frac {3 + 15i_1} {8} - \ frac {15} {8} times i_1-5i_1 = 0 $$
$$ \ frac {3} {8} + \ frac {15i_1} {8} - \ frac {15} {8} times i_1-5i_1 = 0 $$
$$ \ frac {3} {8} -5i_1 = 0 $$
$$ \ frac {3} {8} = 5i_1 $$
$$ i_1 = \ frac {3} {40} A $$
Трансформация источника для цепей с индукторами и конденсаторами
Обратите внимание, что преобразование источника также применимо для цепей с индукторами и конденсаторами. Однако в этом случае необходимо проанализировать схему в частотной области.
Давайте посмотрим на схему, показанную на рисунке 12 (a).
Рисунок 12
Здесь, если предположить, что ω равно 50 рад / с, то
- Импеданс 2 мФ конденсатора = -j / ωC = -j / (50 × 2 × 10 -3) = -j / (100 × 10 -3) = -10j
- Импеданс индуктора 40 мГн = jωL = j × 50 × 40 × 10 -3 = 2j
Теперь предположим, что нам нужно найти напряжение на индукторе 40 мГн.
Когда мы смотрим на принципиальную схему, очевидно, что этот процесс станет проще, если мы преобразуем источник тока 2 A параллельно с импедансом -10j в источник напряжения. Этот процесс дает V = 2 × (-10j) = -20j, направленный вниз, последовательно с a -10j impedance.
Результирующая схема показана на рисунке 13.
Рисунок 13
Теперь применим KVL к схеме, чтобы определить текущий поток, проходящий через него.
$$ 5-2jI + 10jI-20j = 0 $$
$$ \ left (10j-2j \ right) I = 20j-5 $$
$$ 8jI = 20j-5 $$
$$ I = \ frac {20j-5} {8j} = \ left (2.5 + 0.625j \ right) A $$
Таким образом, напряжение на индукторе V L будет
$$ 5-V_L + 10jI-20j = 0 $$
$$ 5-V_L + (10j) times (2.5 + 0.625j) -20j = 0 $$
$$ 5 + \ left (-6.25 + 25j \ right) -20j = V_L $$
$$ V_L = \ left (-1.25 + 5j \ right) V $$
Вывод
Анализ, представленный в этой статье о преобразовании источника, можно резюмировать в следующих трех моментах:
1. Преобразование источника, выполненное по правилам, показанным на рисунке 14, может быть использовано для упрощения схем и облегчения анализа сетки.
Рисунок 14
2. Зависимые источники могут быть преобразованы так же, как и независимые источники (рис. 15).
Рисунок 15
3. Метод преобразования источника может быть даже использован для анализа схем с конденсаторами и индукторами при условии их анализа в частотной области.
Я надеюсь, что эта статья дала вам лучшее понимание трансформации источника.